[論文レビュー] Backward stochastic viability property with jumps and applications to the comparison theorem for multidimensional BSDEs with jumps

Xuehong Zhu|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、閉凸集合への二乗距離関数の正則化を用いて、ジャンプ付き多変数バックワードストキャスティック微分方程式（BSDE）のためのバックワードストキャスティックバイアビリティ性（BSVP）を確立する。主な貢献は、解が与えられた閉凸集合にほとんど確実にとどまるための必要十分条件を特定することであり、この条件は、生成子のリプシッツ連続性および可積分性の条件下で、ジャンプ付き多変数BSDEの比較定理の証明に応用される。

ABSTRACT

In this paper, we study conditions under which the solutions of a backward stochastic differential equation with jump remains in a given set of constrains. This property is the so-called "viability property". As an application, we study the comparison theorem for multidimensional BSDEs with jumps.

研究の動機と目的

• 多変数BSDEの解が与えられた閉凸集合にほとんど確実にとどまるための条件を同定すること。
• 拡散項のみのBSDEに対して先行して得られた結果を一般化し、ジャンプ拡散設定へのバックワードストキャスティックバイアビリティ性（BSVP）を拡張すること。
• BSVPを応用して、ジャンプ付き多変数BSDEの比較定理を導出すること。
• 制約集合の距離関数に対する生成子の挙動に基づいた、バイアビリティ性の必要十分条件を提供すること。
• バックダーンら（2000）の手法を、モリフィケーションと正則化距離関数における伊藤の補題を用いて、ジャンプ型BSDEに一般化すること。

提案手法

• 閉凸集合 K への二乗距離関数の正則化として、φδ と表記されるモリフィケーション版を用いて距離関数 dK を正則化する。
• ジャンプ付きBSDEの解 (Y,Z,U) に対して、φδ(Yt) に伊藤の補題を適用する。
• 生成子 f、正則化関数の勾配 ∇φδ、およびヘッセ行列 D²φδ を含む事前推定を導出する。
• 生成子 f が距離関数 dK に対して微分型の条件を満たすことを課し、C* と生成子のリプシッツ連続性を含む有界性として表現する。
• 得られた期待値推定にグロワールの不等式を適用し、δ→0 のときの E[φδ(Yt)] の成長を制御する。
• δ→0 の極限をとる際、ファトゥの補題を用いて、dK(Yt)=0 a.s. を結論づけ、すべての t∈[0,T] に対して Yt∈K a.s. が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多変数BSDEの解が、すべての時刻 t∈[0,T] において与えられた閉凸集合 K にほとんど確実にとどまるための条件は何か？
• RQ2 バイアビリティに基づくアプローチを用いて、ジャンプ付き多変数BSDEの比較定理を確立できるか？
• RQ3 ジャンプが存在する状況下で、バックワードストキャスティックバイアビリティ性を保証する生成子 f の正確な微分型条件は何か？
• RQ4 ジャンプ成分が含まれる場合、拡散項のみのケースと比較して、バイアビリティ条件にどのような影響を与えるか？
• RQ5 正則化距離関数 φδ は、ジャンプ拡散BSDEのバイアビリティ条件を導出する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 解 (Y,Z,U) がすべての t∈[0,T] において閉凸集合 K にほとんど確実にとどまるのは、生成子 f が距離関数 dK と定数 C* を含む微分型条件を満たすとき、かつそのときに限る。
• バイアビリティ条件は次のように表現される：f(s,y,z,u)⋅∇d²K(y) ≤ (C*/2)d²K(y) + L|y−y′|dK(y) + (1/2)⟨D²d²K(y)z,z⟩ + ∫E[d²K(y+u(e))−d²K(y)−⟨∇d²K(y),u(e)⟩]n(de) であり、y が Yt の近傍に存在するときを想定する。
• 証明は、正則化距離関数 φδ に伊藤の補題を適用することに依拠し、δ→0 の極限でグロワールの不等式を用いて推定値を制御する。
• δ→0 のとき、正則化関数 φδ(Yt) はほとんど確実に d²K(Yt) に収束し、ファトゥの補題により E[d²K(Yt)]=0 が得られ、これより Yt∈K a.s. が導かれる。
• 主要な推定式 E[φδ(Yt)] ≤ [δ² + L(T−t)δ]e^(1+C*/2)T が δ<1/L のとき成り立ち、δ→0 のときこの式は 0 に収束する。
• 多変数BSDEの比較定理は、バイアビリティ結果の直接的応用として得られ、HuとPeng（2006）の結果をジャンプ拡散ケースに拡張する。