[論文レビュー] Backward stochastic Volterra integral equations associated with a Levy process and applications

Wen Lu|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、独立した Lévy 確率過程に付随する Teugels マルティングルとブラウン運動によって駆動される後向きストキャスティックボルテラ積分方程式（BSVIELs）に対する適応的 M-解の存在、一意性、安定性を確立する。線形 BSVIEL と前向き方程式の間の双対性原理を導入し、比較定理を証明し、M-解を用いて動的一貫リスク測度を構成する枠組みを適用することで、ジャンプ・ドリフト動的なボルテア型方程式へ BSDE 理論を拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we study a class of backward stochastic Volterra integral equations driven by Teugels martingales associated with an independent Lévy process and an independent Brownian motion (BSVIELs). We prove the existence and uniqueness as well as stability of the adapted M-solutions for those equations. Moreover, a duality principle and then a comparison theorem are established. As an application, we derive a class of dynamic risk measures by means of M-solutions of certain BSVIELs.

研究の動機と目的

• 独立した Lévy 確率過程に付随する Teugels マルティングルとブラウン運動によって駆動される後向きストキャスティックボルテア積分方程式（BSVIELs）を研究すること。
• 生成子 f にリプシッツ型の条件を課した下で、これらの方程式に対する適応的 M-解の存在、一意性、安定性を確立すること。
• 同じノイズ源によって駆動される線形 BSVIEL と線形 FSVIEL の間の双対性原理を構築すること。
• 双対性原理を用いて、M-解の比較定理を証明すること。
• 理論的枠組みを応用し、連続時間における動的一貫リスク測度のクラスを構築すること。

提案手法

• 独立したブラウン運動と Lévy 確率過程に付随する Teugels マルティングルによって駆動される BSVIEL を、両方の過程によって生成されるフィルトレーションを用いて形式化する。
• 適応的 M-解の空間を定義し、解の成分 (Y, Z, U) がフィルトレーションに関して適応的であることを保証する。
• 生成子 f にリプシッツ条件を課した下で、固定点法を用いて M-解の存在と一意性を証明する。
• 同じノイズ構造を持つ線形 BSVIEL と線形 FSVIEL の間の双対性原理を、その解同士の関係によって確立する。
• 双対性および生成子 f の性質を活用して、M-解の比較定理を導出する。
• ρ(t;φ(·)) = Y(t) と定義することで、部分的に特定された BSVIEL に解 (Y, Z, U) を持つ生成子が劣加法的かつ正homogeneous である場合に、動的リスク測度を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラウン運動と独立した Lévy 確率過程に付随する Teugels マルティングルによって駆動される後向きストキャスティックボルテア積分方程式に対して、適応的 M-解がリプシッツ型の生成子条件下で一意的かつ安定的に解けるか。
• RQ2 同じノイズ構造下で、線形 BSVIEL と前向きストキャスティックボルテア積分方程式（FSVIELs）との間に双対性関係が存在するか。
• RQ3 生成子に適切な条件を課した下で、M-解の比較定理が成り立つか。
• RQ4 特定のクラスの BSVIEL に対する M-解から、動的一貫リスク測度を導出できるか。
• RQ5 生成子にどのような条件を課すと、誘導されるリスク測度が一貫性を満たすか。

主な発見

• 生成子 f にリプシッツ条件を課した下で、ブラウン運動と Teugels マルティングルによって駆動される BSVIEL に対する適応的 M-解の存在と一意性が確立された。
• 同じノイズ源によって駆動される線形 BSVIEL と線形 FSVIEL の間の双対性原理が証明され、後向き方程式と前向き方程式の解が結びつけられた。
• 双対性原理を活用して、M-解の比較定理が導出された。これは、一方の生成子が他方を支配するならば、対応する解がパスワイズな不等式を満たすことを示している。
• 劣加法的かつ正homogeneous な生成子を持つ BSVIEL の M-解は、一貫性公理を満たす動的リスク測度を生成する。
• 生成子が f(t,s,y,z,u) = r(s)y + f̃(t,s,z,u) の形であり、r(·) が有界で決定的であり、f̃ が劣加法的かつ正homogeneous である場合、誘導されるリスク測度は動的かつ一貫的である。
• 従来の BSDE 理論がジャンプ・ドリフト動的なボルテア型方程式へ拡張された枠組みが構築され、動的リスク管理および数学的ファイナンス分野への応用が可能になった。