[論文レビュー] Backwards theory supports modelling via invariant manifolds for non-autonomous dynamical systems

A. J. Roberts|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2018

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 45被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、与えられた非-autonomous力学系を正準形に共役化することで、有限領域内での不変多様体の構成を可能にする逆理論を提案する。この理論により、中心多様体の正確な存在およびその出現が保証され、元の系に限りなく近い系に対しても指数的吸引性が成立する。主な貢献は、有効領域に対する厳密な下界を提示することで、系が元の系に非常に近い場合でも多様体への指数的吸引が保証されることであり、これにより、遅い-速い系や非-autonomous系における頑健なモデル化が可能になる。

ABSTRACT

This article establishes the foundation for a new theory of invariant/integral manifolds for non-autonomous dynamical systems. Current rigorous support for dimensional reduction modelling of slow-fast systems is limited by the rare events in stochastic systems that may cause escape, and limited in many applications by the unbounded nature of PDE operators. To circumvent such limitations, we initiate developing a backward theory of invariant/integral manifolds that complements extant forward theory. Here, for deterministic non-autonomous ODE systems, we construct a conjugacy with a normal form system to establish the existence, emergence and exact construction of center manifolds in a finite domain for systems `arbitrarily close' to that specified. A benefit is that the constructed invariant manifolds are known to be exact for systems `close' to the one specified, and hence the only error is in determining how close over the domain of interest for any specific application. Built on the base developed here, planned future research should develop a theory for stochastic and/or PDE systems that is useful in a wide range of modelling applications.

研究の動機と目的

• 非-autonomousおよび確率的系における次元削減のための前向き理論の限界、特にレアイベントや作用素の制限に関する問題を解決する。
• 与えられた系に近い系に対して不変多様体が正確に成立することを保証する補完的逆理論を構築する。
• 非-autonomous ODEにおける中心多様体の有限領域での存在を示し、領域サイズの明示的下界を求める。
• ラグランジュの剰余項定理を用いて、従来の摂動法では得られなかった定量的領域推定を回避する。
• 確率的およびPDE系への理論の拡張の基盤を築く。物理的モデリングへの応用範囲を広げる。

提案手法

• 元の非-autonomous ODE系を、近い恒等写像である多項式変換により正準形系に共役化する座標変換を構築する。
• 前向きの近似とは逆に、与えられた系に対して多様体を近似するのでなく、元の系に非常に近い系に対して多様体を構築し、それが正確に成立することを証明する逆的戦略を採用する。
• ラグランジュの剰余項定理を用いて、不変多様体が存在し、指数的に吸引される有限領域の下界を導出する。
• 特異摂動パrameter εと時間スケール θ に依存する性質を分析することで、領域内で C^p-微分同相写像であることを保証する。
• 変換に畳み込み積分の存在を活用し、非-autonomousな力学を扱える。系の時間依存性に対する制約は弱い。
• 正準形から元の変数に戻す動的変換を実施し、有限領域での有効性と指数的吸引率を保持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非-autonomous系に対して、前向き近似誤差に依存しない、不変多様体の存在を保証する逆理論を開発可能か？
• RQ2 非-autonomous系における構築された不変多様体の有限有効領域は何か？ そして、定量的下界が得られるか？
• RQ3 気象流体力学の系のような系における遅い多様体の存在に関する曖昧さは、逆アプローチによってどのように解消されるか？
• RQ4 確率的およびPDE系への逆理論の拡張は可能か？ また、前向き理論よりも線形作用素に関する仮定を緩和できるか？
• RQ5 構築された多様体の領域と、特に特異摂動設定下でのモデルの物理的妥当性との関係は何か？

主な発見

• 元の系に限りなく近い系に対して不変多様体が正確に存在することを保証する逆理論が確立された。誤差は、近さのパrameterにのみ起因する。
• ラグランジュの剰余項定理を用いて、構築された中心多様体の有効領域が下から境界づけられ、従来の摂動理論では得られなかった明示的かつ有限の下界が得られた。
• 元の変数における解は、有限領域内で 𝒪(e^{-μt/√ε}) のレートで中心多様体に指数的に吸引されることを示した。これは、迅速な出現を確認する。
• 座標変換は領域 d_μ において C^p-微分同相写像であるため、滑らかな逆写像性と ε → 0 および θ = 1 の場合の物理的妥当性が保証される。
• 本手法は非自己随伴系にも適用可能であり、ストラトノヴィッチまたはマーカス解釈のもとで確率的系へも拡張可能である。ただし、標準的な微分法則が成り立つことが前提である。
• 前向き理論の制限を克服するため、線形作用素に関する制約を緩和し、将来的により広範なPDE系クラスへの応用が可能になる。