[論文レビュー] Bad Representations and Homotopy of Character Varieties

Clément Guerin, Sean Lawton+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 67被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、自由群の表現多様体の特異点をBorel-de Siebenthal部分群を用いて特徴づけることで、r ≥ 3 のとき、すべての特異点が位相的であることを証明し、滑らかでない部分の高次ホモトピー群を計算する。r ≥ 3 に対して、安定な同型 πk(Xr(G)) ≅ πk(G)^r × πk−1(PG) が k ≤ 4 で成り立ち、Sikoraの予想（SL(n,C) が唯一の性質CIを満たす単純群である）を確認する。

ABSTRACT

Let G be a connected reductive complex affine algebraic group, and let X denote the moduli space of G-valued representations of a rank r free group. We first characterize the singularities in X, extending a theorem of Richardson and proving a Mumford-type result about topological singularities; this resolves conjectures of Florentino-Lawton. In particular, we compute the codimension of the orbifold singular locus using facts about Borel-de Siebenthal subgroups. We then use the codimension bound to calculate higher homotopy groups of the smooth locus of X, proving conjectures of Florentino-Lawton-Ramras. Lastly, using the earlier analysis of Borel-de Siebenthal subgroups, we prove a conjecture of Sikora about centralizers of irreducible representations in Lie groups.

研究の動機と目的

• r ≥ 3 である自由群の階数 r を持つ連結再帰的複素代数的群 G に対して、G-表現多様体 Xr(G) の特異点集合を特徴化すること。
• r ≥ 3 あるいは G の各単純因子のランクが ≥ 2 であるとき、Xr(G) のすべての特異点が位相的であるという予想を解決すること。
• 0 ≤ k ≤ 4 に対して、Xr(G) の高次ホモトピー群 πk(Xr(G)) を計算し、[FLR17] の結果を一般の再帰的 G に拡張すること。
• Sikoraの予想、すなわち SL(n,C) が唯一の性質CI（非可約部分群の中心化群が中心に等しい）を満たす単純群であることを証明すること。

提案手法

• Borel-de Siebenthal（BdS）部分群を用いて、Xr(G) のオービフォール特異点を分類し、それらの maximal torus が G においても最大であることに依存する。
• Lunaのスライス定理と幾何的不変量理論（GIT）を用いて、GIT商 Hom(Fr, G)//G の局所的構造を分析する。
• Mumford型の結果を確立する：r ≥ 3 のとき、Xr(G) のすべての特異点は位相的（解析的位相における球に同相でない）である。
• BdS 代数による悪い表現の余次元の境界を用いて、滑らかな部分の低次のホモトピー群の消滅を導出する。
• 余次元解析とスペクトル系列の技法を用いて、k ≤ 4 に対して安定同型 πk(Xr(G)) ≅ πk(G)^r × πk−1(PG) を導出する。
• 例外的群におけるBdS部分群の分類を用いて、中心化群が G の中心に等しい非可約表現が SL(n,C) のみに現れることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Xr(G) の特異点集合が純粋に位相的（すなわち、Ck-滑らかな局所自明化を持たない）であるのはいつか？
• RQ2 Xr(G) におけるオービフォール特異点集合の余次元は何か？ そして Borel-de Siebenthal 部分群とどのように関係するか？
• RQ3 k ≤ 4 のとき、Xr(G) の高次ホモトピー群 πk(Xr(G)) はどのように振る舞い、安定なパターンがあるか？
• RQ4 どの連結再帰的群 G が性質CI（すべての非可約部分群の中心化群が G の中心に等しい）を満たすか？

主な発見

• r ≥ 3 のとき、Xr(G) のすべての特異点は位相的特異点である。Florentino-Lawton の予想を解決する。
• Xr(G) における悪い部分集合の余次元は r ≥ 3 のとき 2r 以上で下から抑えられ、古典的群では等号が成り立つ。これは Borel-de Siebenthal 代数から導かれる。
• G = GL(n,C) のとき、第二ホモトピー群は π2(Xr(G)) ≅ Z/nZ であり、一般には π2(Xr(G)) ≅ π1(PG) が成り立ち、Florentino-Lawton-Ramras の予想を確認する。
• 0 ≤ k ≤ 4 のとき、πk(Xr(G)) ≅ πk(G)^r × πk−1(PG) が安定な範囲で成り立ち、古典的および例外的群について明示的な計算が可能である。
• G のすべての非可約表現の中心化群が G の中心に等しいことは、G が SL(n,C) に同種であるときに限り成り立つ。Sikora の予想を証明する。
• G2 において、悪い表現は SL3(C) もしくは SO4(C) を通じて因数分解する非可約表現に対応し、それぞれの次数は 3 および 2 である。これは BdS 部分群構造による。