[論文レビュー] Badly approximable numbers and Littlewood-type problems

Yann Bugeaud, Nikolay Moshchevitin|ArXiv.org|May 6, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、PeresとSchlagの手法を用いて、$−\infty$ における $∑\text{inf}_{q\to\infty} q \cdot (\log q)^2 \cdot \|q\alpha\| \cdot \|q\beta\| > 0$ を満たす実数の対 ⁡$(\alpha,\beta)$ の集合が $ℝ^2$ においてフルハウスドルフ次元を持つことを確立する。この結果を一般化されたリトルウッド型の問題へ拡張し、フルハウスドルフ次元を持つ非可算個の例外的対の存在を示し、同時に同時ディオファントス近似における重要なメトリカルな問いに解決をもたらす。

ABSTRACT

We establish that the set of pairs $(α, β)$ of real numbers such that $$ \liminf_{q o + \infty} q \cdot (\log q)^2 \cdot \Vert q α\Vert \cdot \Vert q β\Vert > 0, $$ where $\Vert \cdot \Vert$ denotes the distance to the nearest integer, has full Hausdorff dimension in $\R^2$. Our proof rests on a method introduced by Peres and Schlag, that we further apply to various Littlewood-type problems

研究の動機と目的

• ほとんどすべての対に対して成り立つはずの漸近的評価 $∑\text{inf}_{q\to\infty} q \cdot (\log q)^2 \cdot \|q\alpha\| \cdot \|q\beta\| = 0$ をもたない、非可算個の対 $(\alpha, \beta)$ の存在を確立すること。
• このような例外的対の集合が $ℝ^2$ においてフルハウスドルフ次元を持つことを示し、測度論的結果を超えて次元論的結果へ拡張すること。
• さまざまなリトルウッド型問題、特に非同次的および混合型の問題へこの手法を一般化し、より一般的な $∑\text{inf}$ 条件に対してもフル次元性を証明すること。
• 明示的構成が困難な場合でも、Peres–Schlag手法による構成的枠組みを提供すること。

提案手法

• ネストされた区間を用いたコントール型集合の構成を通じて、フルハウスドルフ次元を持つ集合を構成するPeres–Schlag手法を適用する。この際、測度と被覆条件を制御する。
• 区間の木構造への質量分布原理を適用し、得られる集合の次元がフルであることを保証する。
• 各 $q$ に対して、$\alpha$ が悪い近似集合に属する場合に $\|q\alpha\|$ が0から離れるように区間 $I_q$ を構成し、$\|q\beta\|$ については再帰的選択プロセスで制御する。
• 二進分解を用い、線形形式 $|x\alpha + y\beta + z| \leq \varepsilon_{x,y}$ で定義される帯領域の総測度を推定する。ここで $\varepsilon_{x,y} = \varepsilon / (|xy| \log^2 |xy|)$ とし、重複を制御し、測度の和が次元基準を満たすようにする。
• 先行研究の補助的補題を変更し、$∑\text{inf}$ 条件における対数および逆対数の重み付けを扱えるようにし、$a \in (0,1)$ への一般化を可能にする。
• 標準的な区間を、線形ディオファントス不等式で定義される単位正方形内の帯領域に置き換え、サイズ $\varepsilon_{x,y} = \varepsilon / (|xy| \log^2 |xy|)$ を用いて重複を制御し、測度和の収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $∑\text{inf}_{q\to\infty} q \cdot (\log q)^2 \cdot \|q\alpha\| \cdot \|q\beta\| > 0$ を満たす対 $(\alpha, \beta)$ の集合が正のハウスドルフ次元を持つのか？
• RQ2 Peres–Schlag手法を一般化されたリトルウッド型問題の解に対して、フルハウスドルフ次元を示すために拡張可能か？
• RQ3 $\liminf_{x,y \geq 0} \max\{2, |xy|\} \cdot \|x\alpha + y\beta\| \cdot (\log \max\{2, |xy|\})^2 > 0$ を満たす対 $(\alpha, \beta)$ の集合の次元は？
• RQ4 非同次的または混合ディオファントス近似問題、たとえば $p$-進絶対値を含む問題に対してもこの手法は適応可能か？
• RQ5 $\alpha \in \text{Bad}$ を固定したとき、対数因子の最適指数は何か？ すなわち、$\liminf$ 条件がフル次元の $\beta$ の集合に対して正のままであるような指数は？

主な発見

• $\mathbb{R}^2$ における対 $(\alpha, \beta)$ の集合で、$\liminf_{q\to\infty} q \cdot (\log q)^2 \cdot \|q\alpha\| \cdot \|q\beta\| > 0$ を満たすものについて、フルハウスドルフ次元を持つ。
• 任意の $\alpha \in \text{Bad}$ に対して、$\liminf_{q\to\infty} q \cdot (\log q)^2 \cdot \|q\alpha\| \cdot \|q\beta\| > 0$ を満たす $\beta \in \mathbb{R}$ の集合はフルハウスドルフ次元を持つ。
• より強い結果が成り立つ：任意の $a \in (0,1)$ に対して、$\liminf_{q\to\infty} q \cdot (\log q)^{2-a} \cdot (\log 1/\|q\alpha\|)^a \cdot \|q\alpha\| \cdot \|q\beta\| > 0$ を満たす $\beta$ の集合はフルハウスドルフ次元を持つ。
• $\liminf_{x,y \geq 0} \max\{2, |xy|\} \cdot \|x\alpha + y\beta\| \cdot (\log \max\{2, |xy|\})^2 > 0$ を満たす対 $(\alpha, \beta)$ の集合は、$\mathbb{R}^2$ においてフルハウスドルフ次元を持つ。
• lacunary列（$t_{j+1}/t_j > 1 + 1/M$ を満たす）に対して、集合 $\{\xi \in [0,1] : \|\xi t_j\| \geq c/(M \log M) \text{ for all } j\}$ は、十分大きな $M$ に対してハウスドルフ次元が少なくとも $1 - \varepsilon$ 以上である。
• $t_n \sim n^\gamma$ であるような列に対して、集合 $\bigcap_{n \geq n_0} \{ \xi : \|\xi t_n\| > C / (n \log n) \}$ はフルハウスドルフ次元を持つ。これは、$\liminf_{n\to\infty} n \log n \cdot \|\xi n^2\| > 0$ が、$\xi$ のフル次元集合で成り立つことを示唆する。