[論文レビュー] Badly approximable points on planar curves and winning

Jinpeng An, Victor Beresnevich+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、任意の至る所非退化な平面曲線または非退化な直線で、ディオファントス的条件を満たすものについて、$(i,j)$-悪い近似点の集合がシュミットゲームの意味で勝利的であることを確立する。Davenportの問題を、制限的なliminf条件を課さずに強化し、[8]の新規メカニズムを用いて非同次設定へと拡張している。

ABSTRACT

For any i,j>0 with i+j =1, let Bad(i,j) denote the set of points (x,y) \in R^2 such that max \{ ||qx||^{1/i}, \, ||qy||^{1/j} \} > c/q for some positive constant c = c(x,y) and all q in N. We show that \Bad(i,j) \cap C is winning in the sense of Schmidt games for a large class of planar curves C, namely, everywhere non-degenerate planar curves and straight lines satisfying a natural Diophantine condition. This strengthens recent results solving a problem of Davenport from the sixties. In short, within the context of Davenport's problem, the winning statement is best possible. Furthermore, we obtain the inhomogeneous generalizations of the winning results for planar curves and lines and also show that the inhomogeneous form of Bad(i,j) is winning for two dimensional Schmidt games.

研究の動機と目的

• 1960年代にDavenportが提起した、平面曲線上に悪い近似点が存在するかどうかという長年の未解決問題を解決すること。
• 至る所非退化な平面曲線 $\mathcal{C}$ に対して、集合 $\mathbf{Bad}(i,j) \cap \mathcal{C}$ の勝利的性質を確立し、先行研究における制限的なliminf条件を排除すること。
• より弱い、本質的に最良のディオファントス的条件のもとで、非垂直な直線においても勝利的性質を確立すること。
• [8]のメカニズムを用いて、同次的勝利結果を非同次設定へ一般化し、$\mathbf{Bad}(i,j)$ の非同次的勝利的性質を証明すること。

提案手法

• シュミットの $(\alpha,\beta)$-ゲームフレームワークを適応し、至る所非退化な $C^{(2)}$ 平面曲線に対して $\mathbf{Bad}(i,j) \cap \mathcal{C}$ が勝利的であることを証明する。
• タイプ(II)の部分木を用いた洗練された木構造的議論を導入し、組合せ的境界を用いて関連ノードの数を推定する。
• [8]の新規な非同次一般化技術を用いて、同次の勝利的結果を非同次ケースへ拡張する。
• 曲線の曲率と $C^{(2)}$ の正則性を用いて近似挙動を制御し、ゲーム理論的議論を適用する。
• 特定の集合 $\Delta(P)$ および $\Delta_{\bm{\theta}}(v)$ との交差サイズに関する再帰的推定を用い、悪いノードの数を抑え込む。
• 無限交差を示すために再帰的不等式 $a_n \geq 182a_{n-1} - \sum_{k=1}^n 43^k a_{n-k}$ を確立し、勝利的性質を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 至る所非退化な平面曲線 $\mathcal{C}$ に対して、制限的なliminf条件なしに $\mathbf{Bad}(i,j) \cap \mathcal{C}$ が勝利的であるか？
• RQ2 非垂直な直線 $\mathrm{L}_{a,b}$ 上で、$\mathbf{Bad}(i,j) \cap \mathcal{L}_{a,b}$ の勝利的性質が、(1.3) よりも弱いディオファントス的条件下で確立可能か？
• RQ3 平面曲線および直線に対して、$\mathbf{Bad}(i,j)$ の非同次版がシュミットゲームの意味で勝利的か？
• RQ4 曲線上での $\mathbf{Bad}(i,j)$ の勝利的性質は、追加の仮定なしに交差集合のフルハウスドルフ次元を保証するか？
• RQ5 [8]のメカニズムを、ディオファントス近似における同次的勝利的結果を非同次設定へ拡張するために効果的に適用可能か？

主な発見

• 至る所非退化な $C^{(2)}$ 平面曲線 $\mathcal{C}$ に対して、集合 $\mathbf{Bad}(i,j) \cap \mathcal{C}$ は勝利的であり、先行研究におけるliminf条件 (1.2) の必要性が排除される。
• 非垂直な直線 $\mathrm{L}_{a,b}$ に対しては、(1.3) よりも弱いディオファントス的条件下で勝利的性質が成り立つ。具体的には、ある $\epsilon > 0$ に対して $\liminf_{q\to\infty} q^{1/\sigma - \epsilon} \|qa\| > 0$ が十分であり、これは本質的に最良である。
• 非同次版 $\mathbf{Bad}(i,j)$ は2次元シュミットゲームにおいて勝利的であり、同次的結果が非同次設定へと拡張される。
• 証明により、すべての $n \geq 1$ に対して $a_n > 112a_{n-1}$ が成り立つことが示され、ここで $a_n$ はゲームツリー上のノード数を表す。これは交差が無限大であり、集合が勝利的であることを示唆する。
• 勝利的結果により、任意のこのような曲線 $\mathcal{C}$ に対して $\dim(\bigcap_t \mathbf{Bad}(i_t,j_t) \cap \mathcal{C}) = 1$ が成り立つことが保証され、制限的な仮定なしにフル次元性が確認される。
• Davenportの問題の文脈において、この結果は最良であり、基礎となるディオファントス的条件を弱めることがない限り、勝利的ステートメントをさらに改善することは不可能である。