[論文レビュー] Badly approximable systems of linear forms in absolute value

Mumtaz Hussain, Simon Kristensen|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、次元 $ u $ の格子に関して定義された絶対値における悪い近似の線形形式の集合が、最大のハウスドルフ次元 $ mn $ を有することを確立し、[9]における予想を解決する。証明は、双リプシッツ変換による標準形への還元と、スミッドの悪い近似行列に関する定理の応用により、目的の集合内にフル次元部分集合を構成する。

ABSTRACT

In this paper we show that the set of mixed type badly approximable simultaneously small linear forms is of maximal dimension. As a consequence of this theorem we settle a conjecture of the first author.

研究の動機と目的

• 格子 $ A \subset \mathbb{Z}^n $ の次元 $ u $ によってパrameter化される、絶対値における悪い近似の線形形式系のハウスドルフ次元を特定すること。
• $ u = 0 $ の場合に対応する $ \operatorname{Bad}^*(m,n) $ の次元に関する[9]における予想を解決すること。
• 一部の座標では絶対値、他の座標では整数への距離を用いる混合ノルムを組み込むことにより、古典的な悪い近似系の理論を拡張すること。
• $ m + u \leq n $ のとき、集合 $ \operatorname{Bad}_A(m,n) $ がフル次元のハウスドルフ次元 $ mn $ を有することを確立すること。
• 集合 $ \operatorname{Bad}(m,n) $ と $ \operatorname{Bad}^*(m,n) $ の間のハイブリッドディオファントス近似集合の測度論的および次元論的性質を明確にすること。

提案手法

• 線形自己同型を用いて、一般の格子の場合を $ A = \mathbb{Z}^u \times \{0\} $ の標準形に還元し、ハウスドルフ次元および測度論的性質を保つ。
• $ \mathcal{X} \subset \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}) $ を、行列のブロック構造 $ \begin{pmatrix} I_u & 0 \\ X' & X'' \end{pmatrix} $ を持つ集合とし、$ (n-u)n $ 次元のリークボウ測度が正であることを示す。
• $ S = \operatorname{Bad}(m+u-n, n) $ を定義し、これは $ m+u-n $ 変数における古典的な悪い近似集合であり、スミッドの定理により $ \dim S = (m+u-n)n $ であると述べる。
• 各 $ Y \in S $ に対して、$ X \in \mathcal{X} $ を用いて $ \begin{pmatrix} X \\ YX \end{pmatrix} $ の形の行列を構成し、絶対値における下界を満たすことを示す。
• ハウスドルフ次元の双リプシッツ不変性を用いて、$ S $ からの次元結果を $ \operatorname{Bad}_A(m,n) $ の構成された部分集合へと移す。
• 超立方体による被覆を用いた背理法を適用し、$ \mathcal{X} $ にわたって統合することで、ファイバーの次元を評価し、$ \dim \Lambda < mn $ ならば矛盾が生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 格子 $ A \subset \mathbb{Z}^n $ の次元 $ u $ を持つ絶対値における悪い近似の線形形式系のハウスドルフ次元は何か？
• RQ2 $ m + u \leq n $ のとき、集合 $ \operatorname{Bad}_A(m,n) $ は最大のハウスドルフ次元 $ mn $ を持ち、その場合にフル次元のLebesgue測度を持つのか？
• RQ3 $ m + u > n $ のとき、$ \operatorname{Bad}_A(m,n) $ の次元は格子の次元 $ u $ にどのように依存するか？また、その挙動はいかなるものか？
• RQ4 [9]における予想、すなわち $ \dim \operatorname{Bad}^*(m,n) = m $（$ m < n $ の場合）は正しいか？また、混合ノルムの枠組み内でも成り立つか？
• RQ5 絶対値と整数への距離を混合する線形変換のもとで、悪い近似系の次元は保存されるか？

主な発見

• $ m + u \leq n $ のとき、任意の次元 $ u $ の格子 $ A \subset \mathbb{Z}^n $ に対して、$ \operatorname{Bad}_A(m,n) $ のハウスドルフ次元は正確に $ mn $ であり、これは最大次元である。
• $ m + u \leq n $ のとき、集合 $ \operatorname{Bad}_A(m,n) $ はフル次元の $ mn $ 次元Lebesgue測度を有し、測度論的に残渣的（residual）であることを意味する。
• 本結果により、[9]における予想 $ \dim \operatorname{Bad}^*(m,n) = m $ が正当化され、著者らの以前の「最終的コメント」が次元がゼロである可能性を示唆していたこととは矛盾する。
• $ m + u > n $ のとき、集合 $ \operatorname{Bad}_A(m,n) $ はLebesgue測度ゼロを有し、Khintchine–Groshev型定理と整合的である。
• 行列の形 $ \begin{pmatrix} X \\ YX \end{pmatrix} $（$ X \in \mathcal{X} $、$ Y \in \operatorname{Bad}(m+u-n,n) $）により構成された集合 $ \Lambda \subset \operatorname{Bad}_A(m,n) $ がフル次元 $ mn $ を有することを証明した。
• ハウスドルフ次元の双リプシッツ不変性により、基底変換のもとでも次元結果が保存されることを保証し、標準格子の場合への還元が可能である。