[論文レビュー] Baecklund transformations and Baxter's Q-operator

E. K. Sklyanin|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2000

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 27被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、周期的Toda格子を主要な例として用い、古典的Bäcklund変換（BTs）と量子可積分系におけるBaxterのQ作用素の間の深い関係を確立する。量子群 $\widehat{\mathfrak{sl}}_q(2)$ のq-振動子表現を用いてQ作用素を構成し、古典的生成関数がQ作用素核の半古典的極限に正確に一致することを示し、TodaモデルにおけるBaxter方程式を証明することで、スペクトル理論と変数分離法を結びつける。

ABSTRACT

The course of 5 lectures given at the seminar "Integrable Systems: from Classical to Quantum" (Universite de Montreal, Jul 26 -- Aug 6, 1999) contains a detailed comment on the recently discovered (Gaudin-Pasquier, 1992) connection between Baecklund transformations in the theory of classical integrable systems on one hand, and Baxter's Q-operator for quantum integrable systems, on the other hand. We restrict our attention to the systems with finite number of degrees of freedom. Our main illustrative example is the periodic Toda lattice. We present a general construction of Q-operator for models governed by the SL(2)-invariant R-matrix and apply it to our example. We discuss also applications of BT and Q-operators to the separation of variables and theory of special functions.

研究の動機と目的

• 最近発見された、可積分系における古典的Bäcklund変換と量子Q作用素の間の関係を明確化すること。
• 量子群 $\widehat{\mathfrak{sl}}_q(2)$ のq-振動子表現を用いて、周期的Toda格子のQ作用素を構成すること。
• 古典的Bäcklund変換の生成関数が、Q作用素核の半古典的極限として正確に再現されることを示すこと。
• TodaモデルにおけるBaxter方程式を証明し、それをスペクトル理論および変数分離法と関連付けること。
• Baxter、Pasquier-Gaudin、および量子群表現論のアプローチを、一つの枠組みに統合すること。

提案手法

• Q作用素を、$\widehat{\mathfrak{sl}}_q(2)$ のq-振動子表現におけるLax作用素から構成されたモノドロミー行列のトレースとして構成する。
• Q作用素の核を、Lax行列核の積として表される積分作用素として導出し、座標表示における因数分解された表現を得る。
• 半古典的極限 $\hbar \to 0$ を用いて、Q作用素核 $Q_\lambda(y|x) \sim \exp(i\hbar^{-1} F_\lambda(y|x))$ が、Bäcklund変換の古典的生成関数 $F_\lambda$ を正確に再現することを示す。
• 転送行列のQ作用素核への作用を分析することで、Baxter方程式 $t(\lambda)Q_\lambda = Q_{\lambda+i} + Q_{\lambda-i}$ を証明する。
• Baxter方程式の導出における行列積構造を簡略化するために、三角的ゲージ変換を適用する。
• Q作用素核の局所的項 $w_j(\lambda)$ への因数分解を用いて、転送行列の作用を分離し、有限差分方程式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可積分系における古典的Bäcklund変換と量子Q作用素の関係は何か？
• RQ2 Toda格子のQ作用素は、特にq-振動子表現を用いた量子群表現論によって構成可能か？
• RQ3 Q作用素核の半古典的極限が、Bäcklund変換の古典的生成関数を再現するか？
• RQ4 構成されたQ作用素を用いて、TodaモデルにおけるBaxter方程式はどのように導出されるか？
• RQ5 Q作用素は、量子スペクトル問題と古典的変数分離法をどのように結びつけるか？

主な発見

• Toda格子のQ作用素核は、明示的に $\mathcal{Q}_\lambda(y|x) = \prod_{j=1}^n \exp\bigl(\mathrm{i} \mathrm{e}^{y_{j+1}-x_j} - \mathrm{i} \mathrm{e}^{x_j-y_j} + \mathrm{i}\lambda(x_j-y_j)\bigr)$ と与えられる。
• Bäcklund変換の古典的生成関数 $F_\lambda(y|x)$ は、正確に $F_\lambda(y|x) = -\mathrm{i} \log \mathcal{Q}_\lambda(y|x)$ として再現され、Todaの場合に完全な一致が確認される。
• 実軸に沿った急速な減衰性を示すため、より解析的に便利な別表現 $\check{\mathcal{Q}}_\lambda(y|x) = \prod_{j=1}^n \exp\bigl(-\mathrm{e}^{y_{j+1}-x_j} - \mathrm{e}^{x_j-y_j} + \lambda(x_j-y_j)\bigr)$ が示された。
• Q作用素核の因数分解構造を用いて、TodaモデルにおけるBaxter方程式 $t(\lambda)Q_\lambda = Q_{\lambda+i} + Q_{\lambda-i}$ が厳密に証明された。
• 修正された核は $t(\lambda)Q_\lambda = \mathrm{i}^n Q_{\lambda+i} + \mathrm{i}^{-n} Q_{\lambda-i}$ を満たし、Todaハミルトニアンが転送行列 $t(\lambda)$ に埋め込まれている。
• この構成により、Q作用素がBäcklund変換の量子版として機能し、$\hbar \to 0$ 極限で自己同型 $\mathcal{O} \mapsto Q_\lambda \mathcal{O} Q_\lambda^{-1}$ の共役作用が古典的BTに一致することが示された。