[論文レビュー] Bahadur Representation for U-Quantiles of Dependent Data

Martin Wendler|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2010

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 25被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、強い混合および絶対的正規性の依存構造の下でU-quantileのBahadur表現を確立し、標本quantileの古典的Bahadur結果をU統計量へと拡張する。中心極限定理および反復対数法則が帰結として得られ、特に多項式的混合係数の下で誤差率が向上し、混合データの標本quantileに関する既存の結果を精緻化する。

ABSTRACT

U-quantiles are applied in robust statistics, like the Hodges-Lehmann estimator of location for example. They have been analyzed in the case of independent random variables with the help of a generalized Bahadur representation. Our main aim is to extend these results to U-quantiles of strongly mixing random variables and functionals of absolutely regular sequences. We obtain the central limit theorem and the law of the iterated logarithm for U-quantiles as straightforward corollaries. Furthermore, we improve the existing result for sample quantiles of mixing data.

研究の動機と目的

• 依存データのU-quantileに対して、古典的標本quantileのBahadur表現を拡張する。
• 強い混合および絶対的正規性過程の下でU-quantileの中心極限定理および反復対数法則を確立する。
• 特に多項式的減衰する混合係数の下で、混合データの標本quantileの既存の誤差率バウンドを改善する。
• ロバスト推定量（例：Hodges-Lehmann推定量）が依存データ設定において有効である理論的基盤を提供する。
• 関数的絶対正規性過程および1-近似列のような非i.i.d.データ構造を扱う。

提案手法

• U-quantileを線形成分と退化成分に分けるためにHoeffding分解を適用する。
• Vervaatの定理を用いて逆経験プロセスとBahadur剰余項を関連付ける。
• 真のquantileを中心とする収縮する区間上で経験プロセスの一様収束速度を確立する。
• 退化U統計量成分の2次モーメントを制御するためにBorel-Cantelli補題とChebyshevの不等式を用いる。
• 変動条件および一様連続性の仮定を用いて、核関数がquantile付近での振る舞いを制御する。
• 多項式的混合の下で、剰余項のほとんど確実収束速度 $ n^{-5/8 - \gamma/8} (\log n)^{3/4} (\log \log n)^{1/2} $ を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強い混合依存の下でU-quantileのBahadur表現は何か？
• RQ2 多項式的減衰する混合係数の下で、U-quantileの誤差率は標本quantileのそれと比べてどうなるか？
• RQ3 Bahadur表現は絶対正規性過程の汎関数へ拡張可能か？
• RQ4 依存U-quantileの場合に中心極限定理および反復対数法則にどのような意味があるか？
• RQ5 1-近似条件および変動条件はU-quantileの収束速度にどのように影響するか？

主な発見

• 多項式的強い混合 $ \alpha(k) \sim k^{-\beta} $, $ \beta > 7/2 $ の下で、U-quantileのBahadur剰余項はほとんど確実に $ O\left(n^{-5/8 - \gamma/8} (\log n)^{3/4} (\log \log n)^{1/2}\right) $ の速度で収束する。
• U-quantileの中心極限定理および反復対数法則は、Bahadur表現の直接的帰結として得られる。
• 混合データの標本quantileに対して、誤差率が改善され、多項式的混合の下で既存の結果が精緻化される。
• 剰余項 $ R_n $ は $ \limsup_{n \to \infty} \left( \frac{n}{2 \log \log n} \right)^{3/4} R_n = 2^{1/2} 3^{-3/4} p^{1/4} (1-p)^{1/4} $ を満たし、i.i.d.データのKieferのバウンドと一致する。
• 絶対正規性 $ \sum i \beta(i) < \infty $ かつ核関数に一様変動条件がある場合、絶対正規性過程の汎関数に対しても同様の収束速度が成立する。
• Borel-Cantelli補題および退化U統計量成分のモーメントバウンドを用いて、剰余項のほとんど確実収束が確立される。