[論文レビュー] Baire classification of separately continuous functions and Namioka property

Volodymyr Mykhaylyuk|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2016

Advanced Topology and Set Theory参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、分離的に連続関数およびBaire分類の理論において、2つの主要な結果を確立する：(1) すべての$Y$に対して、$X \times Y$から$\mathbb{R}$へのすべての分離的に連続関数が第一Baireクラスに属するならば、$X$のすべてのLindelöf部分空間は、可分な距離空間への一対一かつ連続な写像を持つ；(2) $X$がBaire空間で$Y$がコンパクトであるならば、すべての分離的に連続かつBaire可測な関数$f: X \times Y \to \mathbb{R}$は、$X \times Y$の稠密な$G_\delta$集合$A \times Y$上で jointly 連続である。これは、G. VeraによるNamioka性質に関する問いに肯定的に応える。

ABSTRACT

We prove the following two results. 1. If $X$ is a completely regular space such that for every topological space $Y$ each separately continuous function $f:X imes Y o\mathbb R$ is of the first Baire class, then every Lindelöf subspace of $X$ bijectively continuously maps onto a separable metrizable space. 2. If $X$ is a Baire space, $Y$ is a compact space and $f:X imes Y o\mathbb R$ is a separately continuous function which is a Baire measurable function, then there exists a dense in $X$ $G_δ$-set $A$ such that $f$ is jointly continuous at every point of $A imes Y$ (this gives a positive answer to a question of G. Vera).

研究の動機と目的

• すべての$Y$に対して、$f: X \times Y \to \mathbb{R}$である分離的に連続関数が第一Baireクラスに属するような位相空間$X$を特徴付けること。
• 分離的に連続関数のBaire分類とNamioka性質との関係を調査すること。
• [5]の質問1.2を解決すること、すなわち、すべてのBaire Moran空間がNamioka空間であるかどうかを問うものである。
• 分離的に連続関数が残渣集合上で jointly 連続になるような位相的条件を探索すること。

提案手法

• 分離的に連続関数の連続性特性を分析するために、修正されたBanach-Mazurゲームを用いたゲーム的アプローチを採用する。
• 関数が残渣集合上で jointly 連続でないという仮定の下で、$Y$内の開集合$U_n$、$V_n$および点$y_n'$、$y_n''$の列を構成し、矛盾を導く。
• Baireのカテゴリー定理を用いて、プレイヤー$\beta$の戦略$\tau$が勝つことはできないことを示し、すべての$U_n$の共通部分に属する点$x_0$の存在を示す。
• 関数が可算個の座標に集中することの概念を用い、$x_0$における$f$の縦断的断片を分析する。これは、命題5.1を活用する。
• 縦断的断片$f^{x_0}$が、$S_0$の可算部分集合$T_0$における値によって決定されることを証明し、振動が$\varepsilon_0$を超えると仮定すると矛盾が生じることを示す。
• 空間$X$のBaire性質と関数列の点별極限の構造を組み合わせることで、関数が稠密な$G_\delta$集合上で jointly 連続であることを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての$Y$に対して、$f: X \times Y \to \mathbb{R}$である分離的に連続関数が第一Baireクラスに属するような$X$における条件は何か？
• RQ2 すべての分離的に連続な実数値関数が第一Baireクラスに属するBaire空間（Baire Moran空間）は、必然的にNamioka空間であるか？
• RQ3 $X$がBaire空間で$Y$がコンパクトであるとき、$f: X \times Y \to \mathbb{R}$である分離的に連続関数のNamioka性質は保証されるか？
• RQ4 「$B$-性質」（すべての分離的に連続関数が第一Baireクラスに属する）は、$X$のLindelöf部分空間にどのような位相的制約を課えるか？

主な発見

• すべての$Y$に対して、$f: X \times Y \to \mathbb{R}$である分離的に連続関数が第一Baireクラスに属する完全正則空間$X$が与えられたとき、$X$のすべてのLindelöf部分空間は、可分な距離空間への一対一かつ連続な写像をもつ。
• Baire空間$X$とコンパクト空間$Y$に対して、すべての分離的に連続かつBaire可測な関数$f: X \times Y \to \mathbb{R}$は、$X \times Y$の稠密な$G_\delta$部分集合$A \times Y$上で jointly 連続である。これは、G. Veraによる予想を確認するものである。
• ゲーム的議論により、プレイヤー$\beta$の戦略$\tau$が勝つことはできないことが示され、関数の振動が可算個の座標に依存する点$x_0$の存在が示される。
• 点$x_0$における関数の縦断的断片$f^{x_0}$は、可算集合$T_0$における値によって決定され、jointly 連続性が失敗すると仮定すると矛盾が生じる。
• この結果により、すべてのBaire弱いMoran空間はNamioka空間であることが示され、[5]の質問1.2に対する肯定的解答が得られる。
• 関数列$f_n$の収束と、点別極限における座標依存性の保存を用いて、極限関数が$T_0$上のファイバー上で定数であることを保証する。