[論文レビュー] Bakry-Émery conditions on almost smooth metric measure spaces

Shouhei Honda|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ほぼ滑らかでコンパクトな距離測度空間が Bakry-Émery 条件 $\operatorname{BE}(K,N)$ を満たすための十分条件を確立する。また、局所次元が定数でないが Bakry-Émery 意味で下からのリッチ曲率の下界を持つ空間の例を初めて構成する——具体的には、2つの閉じた点付きリーマン多様体をその基点で貼り合わせた空間である。この例は、$\operatorname{BE}(K,N)$ が RCD 条件を意味しないこと、および局所次元が保存されないことを示している。

ABSTRACT

In this short note, we give a sufficient condition for almost smooth compact metric measure spaces to satisfy the Bakry-Émery condition $BE (K, N)$. The sufficient condition is satisfied for the glued space of any two (not necessary same dimensional) closed pointed Riemannian manifolds at their base points. This tells us that the $BE$ condition is strictly weaker than the $RCD$ condition even in this setting, and that the local dimension is not constant even if the space satisfies the $BE$ condition with the coincidence between the induced distance by the Cheeger energy and the original distance. In particular, the glued space gives a first example with a Ricci bound from below in the Bakry-Émery sense, whose local dimension is not constant. We also give a necessary and sufficient condition for such spaces to be $RCD(K, N)$ spaces.

研究の動機と目的

• ほぼ滑らかでコンパクトな距離測度空間が Bakry-Émery 条件 $\operatorname{BE}(K,N)$ を満たすための十分条件を特定すること。
• Cheeger 距離が元の距離と一致する場合でさえ、$\operatorname{BE}(K,N)$ 条件が $\operatorname{RCD}(K,N)$ 条件を意味しないことの証明。
• 局所次元が非定数である $\operatorname{BE}(K,N)$ を満たす空間の最初の例を構成し、Bakry-Émery 条件のもとで局所次元が保存されないことを示すこと。
• このような空間が $\operatorname{RCD}(K,N)$ 条件を満たすための必要十分条件を提供すること。
• Sobolev から Lipschitz への性質の不成立に起因する、$\operatorname{BE}(K,N)$ を満たすが $\operatorname{RCD}(K,N)$ を満たさない空間の例を提示することで、$\operatorname{BE}(K,N)$ と $\operatorname{RCD}(K,N)$ の違いを明確にすること。

提案手法

• 基点で貼り合わせた2つの閉じた点付きリーマン多様体 $M_1^{m_1} * M_2^{m_2}$ の貼り合わせ空間を、標準測度を備えて分析する。
• 滑らかな関数 $f$ に対して、弱形の不等式 $\frac{1}{2}\Delta|\nabla f|^2 \geq \frac{(\Delta f)^2}{N} + \langle \nabla \Delta f, \nabla f \rangle + K|\nabla f|^2$ を用いて Bakry-Émery 条件 $\operatorname{BE}(K,N)$ を適用する。
• 貼り合わせ空間が、$K = \min\{\inf \mathrm{Ric}_{M_1^{m_1}}^{g_1}, \inf \mathrm{Ric}_{M_2^{m_2}}^{g_2}\}$ におけるリッチ曲率の下界と、$N = \max\{m_1, m_2\}$ における次元の上限を継承することを用いる。
• 貼り合わせ空間において、Cheeger 距離 $\mathsf{d}_{\sf Ch}$ が元の距離 $\mathsf{d}$ と一致すること、すなわち $\mathsf{d}_{\sf Ch} = \mathsf{d}$ が成り立つことを確立する。
• 貼り合わせ空間において、Sobolev から Lipschitz への性質が成立しないことを示し、これは $\operatorname{RCD}(K,N)$ のために必要な性質であるため、これが $\operatorname{RCD}(K,N)$ 空間でないことを証明する。
• $L^2$-関数上のスペクトル理論を用い、ラプラシアンの固有関数 $\varphi_i^Y$ とレイリー商を用いて、$H^{1,2}$-空間における収束性とノルムを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Bakry-Émery 条件 $\operatorname{BE}(K,N)$ を満たす距離測度空間が、非定数の局所次元を持つことは可能か？
• RQ2 Cheeger 距離と元の距離が一致することは、$\operatorname{RCD}(K,N)$ 条件を意味するか？
• RQ3 $\operatorname{BE}(K,N)$ を満たし、$\mathsf{d}_{\sf Ch} = \mathsf{d}$ を満たすが、$\operatorname{RCD}(K,N)$ 空間でない空間は存在するか？
• RQ4 ほぼ滑らかな距離測度空間が $\operatorname{RCD}(K,N)$ を満たすための必要十分条件は何か？
• RQ5 異なる次元をもつ2つのリーマン多様体の貼り合わせ空間は、$\operatorname{BE}(K,N)$ を満たすが、Sobolev から Lipschitz への性質を満たさないことは可能か？

主な発見

• 任意の2つの閉じた点付きリーマン多様体 $M_1^{m_1} * M_2^{m_2}$ をその基点で貼り合わせた空間は、$K = \min\{\inf \mathrm{Ric}_{M_1^{m_1}}^{g_1}, \inf \mathrm{Ric}_{M_2^{m_2}}^{g_2}\}$ および $N = \max\{m_1, m_2\}$ を用いて $\operatorname{BE}(K, \max\{m_1, m_2\})$ を満たす。
• 貼り合わせ空間において、Cheeger 距離 $\mathsf{d}_{\sf Ch}$ は元の距離 $\mathsf{d}$ と一致するため、$\mathsf{d}_{\sf Ch} = \mathsf{d}$ が成り立つ。
• 貼り合わせ空間は Sobolev から Lipschitz への性質を満たさないため、任意の $K, N$ に対して $\operatorname{RCD}(K,N)$ 空間ではない。
• これは、Bakry-Émery 意味でリッチ曲率の下界を持つが、局所次元が非定数である空間の最初の例である。
• この空間は期待される形での Bishop-Gromov 不等式を満たさないため、$\mathsf{d}_{\sf Ch} = \mathsf{d}$ であっても $\operatorname{BE}(K,N)$ が体積成長の制御を意味しないことが示唆される。
• このような貼り合わせ空間が $\operatorname{RCD}(K,N)$ であるための必要十分条件は、Sobolev から Lipschitz への性質の成立であり、一般の貼り合わせでは両多様体の次元が等しくかつ追加の正則性を満たす場合に限り成立する。