[論文レビュー] Balanced allocation on graphs

Krishnaram Kenthapadi, Rina Panigrahy‎|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2006

Algorithms and Data Compression参考文献 20被引用数 41

ひとこと要約

本稿では、n個のボールをn個のバケツに割り当てる際、グラフに基づく制約のもとでバランスの取れた割り当てを検討している。各ボールは、下位のグラフに接続された2つのバケツを選び、それらのうち負荷が軽い方のバケツに割り当てる。n^Ω(1/log log n)の次数を持つほぼ正則なグラフでは、最大負荷がO(log log n)のままであることが示され、さらにd/2個のバケツを含む一貫したグループ化により、2回のランダム選択のみで最大負荷がO(log log n / d)に抑えられ、標準的なd選択法を上回る性能を発揮する。

ABSTRACT

It is well known that if n balls are inserted into n bins, with high probability, the bin with maximum load contains (1 + o(1)) log n/log log n balls. Azar, Broder, Karlin, and Upfal [1] showed that instead of choosing one bin, if d ≥ 2 bins are chosen at random and the ball in serted into the least loaded of the d bins, the maximum load reduces drastically to log log n/log d + O(1). In this paper, we study the two choice balls and bins process when balls are not allowed to choose any two random bins, but only bins that are connected by an edge in an underlying graph. We show that for n balls and n bins, if the graph is almost regular with degree ne, where e is not too small, the previous bounds on the maximum load continue to hold. Precisely, the maximum load is log log n + O(1/e) + O(1). So even if the graph has degree nΩ(1/log log n), the maximum load is O(log log n). For general Δ-regular graphs, we show that the maximum load is log log n + O(log n/log (Δ/log4n)) + O(1) and also provide an almost matching lower bound of log log n + log n/log (Δ log n). Further this does not hold for non-regular graphs even if the minimum degree is high.Vocking [29] showed that the maximum bin size with d choice load balancing can be further improved to O(log log n/d) by breaking ties to the left. This requires d random bin choices. We show that such bounds can be achieved by making only two random accesses and querying d/2 contiguous bins in each access. By grouping a sequence of n bins into 2n/d groups, each of d/2 consecutive bins, if each ball chooses two groups at random and inserts the new ball into the least-loaded bin in the lesser loaded group, then the maximum load is O(log log n/d) with high probability. Furthermore, it also turns out that this partitioning into aligned groups of size d/2 is also essential in achieving this bound, that is, instead of choosing two aligned groups, if we simply choose random but possibly unaligned random sets of d/2 consecutive bins, then the maximum load jumps to Ω(log log n/log d) even if the two sets are always chosen to be disjoint.

研究の動機と目的

• ボールがエッジで接続されたバケツのみを選べる場合に、グラフ構造が負荷バランスに与える影響を理解すること。
• 最大負荷が標準的なd選択法の境界に近いかどうか、どのようなグラフ条件下でそのような性能が達成されるかを特定すること。
• バケツのグループ化が、2回のランダム選択のみで低最大負荷を維持できるかを調査すること。
• 制約付きグラフにおける一貫した選択と一貫しないランダム選択の性能を比較すること。
• さまざまなグラフ正則性条件における最大負荷のタイトな上限と下限を確立すること。

提案手法

• 各ボールが、下位のグラフで隣接する2つのバケツを選んで配置する、ボールとバケツのプロセスをグラフ上でモデル化する。
• 2選択ルールの下での最大負荷を分析する：ボールは選択された2つのバケツのうち、負荷が軽い方のバケツに配置する。
• グループ化戦略を導入する：n個のバケツを2n/d個の一貫したグループに分け、各グループはd/2個の連続するバケツからなる。
• 各ボールに対して、2つのランダムなグループを選択し、その2つのグループ内で負荷が最も軽いバケツにボールを配置する。
• 確率的解析と集中不等式を用いて、最大負荷の上界を導出する。
• 負荷が高くなるような悪意ある状況を構築することで、非一貫した選択がより高い負荷をもたらすことを示す下界を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボールがグラフ内の隣接するバケツのみを選べる制約下で、最大負荷はどのようになるか？また、標準的なd選択モデルと比較してどうか？
• RQ2 d回の選択ではなく2回のランダム選択のみで、O(log log n / d)の最大負荷の境界を達成できるか？
• RQ3 バケツのグループの整列が、グラフ制約付き割り当てにおける最大負荷に与える影響は？
• RQ4 最大負荷を低く保つために必要な、下位グラフの構造的性質（例：正則性、最小次数）は何か？
• RQ5 一貫した選択と一貫しないランダムなグループ選択の間には、性能に本質的な差があるか？

主な発見

• 次数がn^Ω(1/log log n)のほぼ正則なグラフでは、最大負荷がO(log log n)であり、標準的なd選択モデルで得られる最良の境界と一致する。
• バケツがd/2個のバケツを含む一貫したグループに分けられ、2つのグループがランダムに選ばれる場合、最大負荷は高確率でO(log log n / d)である。
• 一貫したグループ化戦略は不可欠である：d/2個のバケツを一貫しないランダムに選ぶと、最大負荷はΩ(log log n / log d)にまで上昇し、著しく劣る。
• Δ-正則グラフでは、最大負荷がlog log n + O(log n / log(Δ / log⁴n)) + O(1)で抑えられ、次数と負荷の間のトレードオフが明確に現れる。
• 下界としてlog log n + log n / log(Δ log n)が確立され、正則グラフにおいて上界がほぼタイトであることが示された。
• 高い最小次数を持つ非正則グラフでも、低最大負荷を達成できないことが示され、性能を維持するには正則性が本質的であることがわかった。