[論文レビュー] Balanced Combinations of Solutions in Multi-Objective Optimization

Christian Glaßer, Christian Reitwießner+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2010

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、トポロジー的次数理論を用いて、複数の目的関数にわたるベクトル列をほぼ相殺する区間に分割する、新しいバランス化技法を導入する。この手法により、多目的最大重み付き充足可能性問題（MaxSAT）に対して決定的1/2近似解法を、多目的最大非対称TSP（MaxATSP）に対して確率的1/2近似解法を達成し、従来の手法に比べてより単純なアルゴリズムで性能を向上させた。

ABSTRACT

For every list of integers x_1, ..., x_m there is some j such that x_1 + ... + x_j - x_{j+1} - ... - x_m \approx 0. So the list can be nearly balanced and for this we only need one alternation between addition and subtraction. But what if the x_i are k-dimensional integer vectors? Using results from topological degree theory we show that balancing is still possible, now with k alternations. This result is useful in multi-objective optimization, as it allows a polynomial-time computable balance of two alternatives with conflicting costs. The application to two multi-objective optimization problems yields the following results: - A randomized 1/2-approximation for multi-objective maximum asymmetric traveling salesman, which improves and simplifies the best known approximation for this problem. - A deterministic 1/2-approximation for multi-objective maximum weighted satisfiability.

研究の動機と目的

• k次元整数ベクトルを加算と減算を交互にk回行うことでバランス化する手法を開発し、多項式時間でバランスの取れた解を計算可能にする。
• このバランス化手法を、複数の目的関数が衝突するため単一の最適解が得られない多目的最適化問題に応用する。
• MaxATSPおよびMaxSATの多目的版に対して、従来の研究よりも単純なアルゴリズムで1/2近似を達成する効率的な近似アルゴリズムを設計する。
• 多目的問題のパレート集合が指数的サイズである場合でも、(1−ε)-近似が多項式サイズで存在することを示す。

提案手法

• 中心的な手法は、トポロジー的次数理論の「奇数写像定理」を離散化し、整数ベクトルに適用することで、すべての成分においてほぼ相殺するk個の互いに素な区間の存在を証明する。
• k次元ベクトル列に対して、区間内にあるベクトルの和から区間外の和を引いた差が、各成分で最大4kz以内に収まることが保証される。ここでzはベクトル成分の上限を表す。
• kが定数のとき、k個の区間のすべての組み合わせを全探索することでバランスの取れた分割を特定するアルゴリズムを構築し、多項式時間での計算が可能になる。
• MaxSATでは、変数に対して逐次的真理値を割り当て、部分的割り当てを維持しながら、残りの充足されていない節に対してバランス化結果を適用することで近似精度を向上させる。
• MaxATSPでは、古典的なサイクルカバー手法を拡張し、複数の目的関数における辺の重みに対してバランス化結果を適用することで、バランスの取れたトレードオフを保証する。
• 主な革新点は、多目的近似問題を離散的バランス化問題に還元し、その問題を区間の組み合わせに対する全探索によって解くことにある。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k次元整数ベクトルの列を、各成分において内部の和と外部の和がほぼ相殺するk個の区間に分割できるか？
• RQ2 k基準の多目的最適化問題において、衝突する目的関数をバランス化する多項式時間で計算可能な手法は存在するか？
• RQ3 このバランス化結果を応用して、多目的MaxATSPおよびMaxSATの改善された近似アルゴリズムを導出できるか？
• RQ4 パレート集合が指数的サイズである場合でも、バランスの取れた分割の存在が、多目的MaxSATおよびMaxATSPにおける1/2近似を保証するか？
• RQ5 トポロジー的次数理論の結果を離散化し、複数の目的を持つ組合せ最適化問題に効果的に適用できるか？

主な発見

• 本稿では、zで有界な任意のk次元整数ベクトル列に対して、各成分の不均衡が最大4kz以内に収まるk個の区間に分割可能であることを証明した。
• k目的の最大非対称TSP（MaxATSP）に対して、1/2近似の確率的アルゴリズムを提案し、1/2未満の近似性能であった従来の確率的近似手法を改善した。
• 多目的最大重み付き充足可能性問題（MaxSAT）に対して、決定的1/2近似を達成した。これは、従来の手法よりも単純かつ改善されたものである。
• MaxSATのアルゴリズムは、変数の逐次的選択と残りの節に対する区間バランス化を組み合わせた真理値割り当て戦略を採用し、1/2近似の保証を達成する。
• この手法により、MaxATSPに限らずMaxSATに対しても1/2近似が達成可能であることが示された。これは、複数の目的関数を同時に扱う複雑さを考慮しても成立する。
• 結果として、バランス化フレームワークが、パレート集合の全列挙が計算不能な場合でも、効率的な近似を可能にすることを示した。これは、多目的最適化の一般的手法としての有効性を示している。