[論文レビュー] Balanced metrics and noncommutative Kaehler geometry

Sergio Lukić|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非可換ケーラー幾何における3つの量子化枠組み—幾何的量子化、変形量子化（Reshetikhin–Takhtajan）、経路積分量子化—を通じて、バランスの取れた計量が自然に出現することを確立する。Kähler多様体 M 上の点によってパrameter化される半古典的真空の間で真空エネルギーが一定であることを要求すると、バランスの取れた計量が得られ、これは古典的極限においてケーラー＝アインシュタイン計量に還元され、弦理論のコンpactificationにおける量子的・古典的幾何的構造を統一する。

ABSTRACT

In this paper we show how Einstein metrics are naturally described using the quantization of the algebra of functions on a Kahler manifold M. In this setup one interprets M as the phase space itself, equipped with the Poisson brackets inherited from the Kahler 2-form. We compare the geometric quantization framework with several deformation quantization approaches. We find that the balanced metrics appear naturally as a result of setting the vacuum energy to be the constant function on the moduli space of semiclassical vacua. In the classical limit these metrics become Kahler-Einstein (when M admits such metrics). Finally, we sketch several applications of this formalism, such as explicit constructions of special Lagrangian submanifolds in compact Calabi-Yau manifolds.

研究の動機と目的

• Kähler多様体の文脈において、幾何的量子化、変形量子化、経路積分量子化を統一すること。
• 半古典的真空のモジュライ空間全体で真空エネルギーが一定であることを要求することで、バランスの取れた計量が生じることを示すこと。
• 古典的極限において、これらの計量がケーラー＝アインシュタイン計量に還元されることを示すこと。
• 経路積分量子化における一般化されたバランスの取れた計量の概念を拡張すること、ここで真空状態はコherent状態とは異なる。
• Calabi–Yau多様体における特殊ラグランジュ部分多様体の構成および有効場理論への応用を探索すること。

提案手法

• 非常に豊かでヘルミートラインバンドルを用いたKähler多様体に幾何的量子化を適用し、Kodaira埋め込みによってパラメータ化されたコherent状態を用いる。
• コherent状態のノルムが一定であることを要求することで、バランスの取れた計量条件が生じ、これにより計量構造が固定される。
• Reshetikhin–Takhtajanの変形量子化枠組みにおいて、非可換代数 $ C^{ty}(M)[[\hbar]] $ の単位元が定数関数であることは、計量がバランスの取れているときにかつそのときに限り成り立つ。
• 経路積分量子化では、コherent状態でない別のクラスの半古典的真空状態（定数古典的ハミルトニアンによって定義）を用い、一般化されたバランスの取れた計量を導出する。
• フェルミオン図を用いて三ループ階層での真空エネルギー密度を計算し、対称性因子と運動量積分を経て、量子補正付きエネルギー表現が得られる。
• 真空エネルギー密度が真空のモジュライ空間上で一定であるという条件は、幾何的量子化とは異なり、一般化されたバランスの取れた計量条件を導くが、古典的にはケーラー＝アインシュタイン計量と等価である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何的量子化におけるコherent状態ノルムの一定性を通じて、Kähler多様体の量子化においてバランスの取れた計量がどのように自然に生じるか。
• RQ2 Reshetikhin–Takhtajanの変形量子化代数において、定数関数が $ C^{ty}(M)[[\hbar]] $ の単位元である役割を果たす条件と、バランスの取れた計量条件との関係は何か。
• RQ3 非コherentな半古典的真空状態を用いた経路積分量子化が、一般化されたバランスの取れた計量の概念をどのように導くか。
• RQ4 真空エネルギー密度と古典的極限におけるケーラー＝アインシュタイン計量の出現との関係は何か。
• RQ5 この形式的枠組みを用いて、Calabi–Yau三つ巴における特殊ラグランジュ部分多様体を明示的に構成できるか。

主な発見

• 幾何的量子化において、バランスの取れた計量は、コherent状態のノルムが一定である唯一の計量として出現し、これにより半古典的真空エネルギーが一様になる。
• Reshetikhin–Takhtajanの変形量子化において、定数関数が代数 $ C^{ty}(M)[[\hbar]] $ の単位元であることは、計量がバランスの取れているときにかつそのときに限り成り立つ。
• 経路積分量子化では、非コherentな真空状態を用いることで、真空エネルギー密度が半古典的真空全体で一定であることを要求することで、一般化されたバランスの取れた計量条件が得られ、これは幾何的量子化とは異なるが、古典的には同一のKähler–Einstein計量に還元される。
• 三ループ階層での真空エネルギー密度は、$ E'_{0}(x) = \frac{1}{2\kappa}R + \frac{1}{96\kappa^2}\left(5\Delta R + 42|{\rm Ricci}|^2 + 17|{\rm Riemann}|^2\right) + O(\kappa^{-3}) $ として計算され、初期項は一致するが、幾何的量子化の結果とは異なる。
• 一般化されたバランスの取れた計量条件は、古典的極限においてケーラー＝アインシュタイン計量に還元され、この性質が異なる量子化スキームにわたって一貫していることが示された。
• この枠組みは、量子化された代数的構造を用いて、コンパクトなCalabi–Yau多様体における特殊ラグランジュ部分多様体を体系的に構成するための方法を提供する。