[論文レビュー] Balanced model order reduction for systems depending on a parameter

Carles Batlle, Néstor Roqueiro|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2016

Model Reduction and Neural Networks参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、不確実パラメータを有する線形時不変系に対して、パラメータに依存するバランスドモデル低次元化手法を提示する。2次までのパラメータ補正を含むべき乗級展開を用いる。この手法はシステム構造と安定性を保持するとともに、パラメータを明示的に組み込んだ低次元モデルを構築でき、パラメータ値の範囲にわたるロバスト制御設計を可能にする。また、2次補正項としての特筆すべき新しい特異部分空間補正項を解析的に導出する。

ABSTRACT

We provide an analytical framework for balanced realization model order reduction of linear control systems which depend on an unknown parameter. Besides recovering known results for the first order corrections, we obtain explicit novel expressions for the form of second order corrections for singular values and singular vectors. The final result of our procedure is an order reduced model which incorporates the uncertain parameter. We apply our algorithm to the model order reduction of a linear system of masses and springs with parameter dependent coefficients.

研究の動機と目的

• 不確実係数を有する線形系のパラメータ依存性を保持するモデル低次元化フレームワークの開発。
• 標準的なバランスドトレントレーションの制限を克服すること。これは数値的パラメータ値を必要とし、記号的パラメータ依存性を失うため。
• パラメータ変動下での特異値および特異部分空間に対する1次および2次補正の解析的表現を導出すること。
• パラメータを2次多項式として明示的に含む低次元モデルを構築し、パラメータ範囲にわたる制御器設計に利用可能にする。
• 10個の質量とパラメータ依存性を持つばね定数および質量係数を有する20状態の質量ばね系を用いて、手法の妥当性を検証すること。

提案手法

• 不確実パラメータにおける可制御性および可観測性グラミアンをべき級数展開し、レイリュー方程式を逐次的に解く。
• グラミアンの平方根をべき級数展開により計算し、バランスド変換行列を取得する。
• バランスドシステムに対して特異値分解（SVD）を適用し、特異値および特異部分空間に対する明示的な2次補正項を導出する。
• バランスドシステムを低次元化し、パラメータに関して2次多項式の依存性を保持する。
• MATLABでアルゴリズムを実装し、10個の質量とパラメータ依存性を持つばね定数および質量係数を有する20状態の質量ばね系で検証する。
• Bodeプロットを用いて、ゼロ次、1次、2次多項式近似の精度を正確な低次元モデルと比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バランスドモデル低次元化は、記号的で不確実なパラメータを有するシステムに拡張可能であり、安定性と構造を保持できるか？
• RQ2 パラメータ変動下での特異値および特異部分空間に対する1次および2次補正の解析的表現は何か？
• RQ3 パラメータにおける多項式近似の次数が上昇するにつれて、低次元モデルの精度はどのように向上するか？
• RQ4 得られるパrametric低次元モデルは、パラメータ値の範囲にわたる制御器設計に効果的に利用可能か？
• RQ5 パラメトリック低次元モデルにおいて、計算コストと近似誤差のトレードオフは何か？

主な発見

• 本手法は、不確実パラメータを多項式として明示的に含む低次元モデルを効果的に計算でき、パラメトリック制御器設計を可能にする。
• 本研究の文脈において、特異部分空間に対する2次補正項が初めて解析的に導出された。これはSVD摂動理論に対する新たな貢献である。
• パラメータ依存係数を有する質量ばね系において、2次近似はゼロ次および1次近似よりも正確な低次元モデルとBodeプロットで顕著に一致する。
• ゼロ次近似は固定パラメータ値 m=0 に対応し、高次項がパラメータ範囲全域での精度を向上させる。
• シミュレーション結果から、多項式近似による切断誤差は次数が上昇するにつれて減少し、近似品質が向上することが示唆される。
• 本手法は安定系に限定されており、現在のところ全近似チェーンの誤差境界を提供しないが、シミュレーション結果から高次項による収束が示唆されている。