[論文レビュー] Balanced Truncation Model Order Reduction For Quadratic-Bilinear Control Systems

Peter Benner, Pawan Goyal|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2017

Model Reduction and Neural Networks参考文献 36被引用数 29

ひとこと要約

本稿では、ボルテラ級数およびヒルベルト随伴系から導かれる代数的グラミアンを導入することで、大規模な2次・双線形（QB）制御系に対するバランスド・トレunctionモデル順序低減法を提案する。この手法により、安定性と動的特性を保持した効果的な低次元化が可能となり、非線形PDE（例えば、FitzHugh-Nagumo系）における極限円周運動を捉える点でモーメントマッチング法を上回る性能を発揮する。

ABSTRACT

We discuss balanced truncation model order reduction for large-scale quadratic-bilinear (QB) systems. Balanced truncation for linear systems mainly involves the computation of the Gramians of the system, namely reachability and observability Gramians. These Gramians are extended to a general nonlinear setting in Scherpen (1993), where it is shown that Gramians for nonlinear systems are the solutions of state-dependent nonlinear Hamilton-Jacobi equations. Therefore, they are not only difficult to compute for large-scale systems but also hard to utilize in the model reduction framework. In this paper, we propose algebraic Gramians for QB systems based on the underlying Volterra series representation of QB systems and their Hilbert adjoint systems. We then show their relations with a certain type of generalized quadratic Lyapunov equation. Furthermore, we present how these algebraic Gramians and energy functionals relate to each other. Moreover, we characterize the reachability and observability of QB systems based on the proposed algebraic Gramians. This allows us to find those states that are hard to control and hard to observe via an appropriate transformation based on the Gramians. Truncating such states yields reduced-order systems. Additionally, we present a truncated version of the Gramians for QB systems and discuss their advantages in the model reduction framework. We also investigate the Lyapunov stability of the reduced-order systems. We finally illustrate the efficiency of the proposed balancing-type model reduction for QB systems by means of various semi-discretized nonlinear partial differential equations and show its competitiveness with the existing moment-matching methods for QB systems.

研究の動機と目的

• 非線形系における状態依存グラミアンの計算の複雑さにより、大規模な2次・双線形（QB）系に対して有効なバランスド・トレunction手法が不足しているという問題に対処する。
• ボルテナ級数表現およびヒルベルト随伴作用素に基づいて、QB系の代数的グラミアンを構築する。
• 提案されたグラミアンとエネルギー関数、およびシステムの到達可能性／可観測性との関係を確立する。
• モデル順序低減における計算効率を向上させるために、グラミアンの切り捨て版を導入する。
• 半離散化非線形PDEに対する数値実験を通じて、低次元化されたシステムの安定性と精度を実証する。

提案手法

• ボルテナ級数表現のカーネルおよび関連するヒルベルト随伴系を用いて、QB系の代数的グラミアンを導出する。
• 一般化された2次リャプノフ方程式の解としてグラミアンを定式化することで、非線形ハミルトン＝ジャコビ方程式を解くのではなく代数的計算が可能となる。
• 到達可能性および可観測性のエネルギー関数を定義し、提案されたグラミアンの二次形式と関連付ける。
• 計算コストを削減しつつも、主要なシステム特性を保持するため、グラミアンの切り捨て版を導入する。
• 提案されたグラミアンを用いてQB系に平方根バランスド・トレunctionを適用し、安定な低次元化モデルを実現する。
• バーガー方程式およびFitzHugh-Nagumo方程式を含む半離散化非線形PDEを用いて、モーメントマッチング手法と比較して手法を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形系における状態依存グラミアンの計算が困難であることを踏まえ、どのようにして2次・双線形系にバランスド・トレunctionを拡張できるか？
• RQ2 提案された代数的グラミアンとQB系における到達可能性・可観測性のエネルギー関数との関係は何か？
• RQ3 提案されたグラミアンはQB系の到達可能性・可観測性をどのように特徴づけ、モデル低減にどのように役立てるか？
• RQ4 大規模モデル順序低減の文脈において、グラミアンの切り捨て版がもたらす利点は何か？
• RQ5 提案されたバランスド・トレunction法は、特にモーメントマッチング法が失敗する場合でも、極限円周運動のような複雑な動的特性を保持できるか？

主な発見

• 提案されたQB系の代数的グラミアンは、ボルテナ級数およびヒルベルト随伴系から導かれており、状態依存非線形グラミアンの計算可能な代替手段を提供する。
• グラミアンは一般化された2次リャプノフ方程式を満たしており、効率的な数値計算が可能となり、モデル低減フレームワークへの統合が可能となる。
• 到達可能性および可観測性のエネルギー関数が、提案されたグラミアンの二次形式と等価であることが示され、物理的解釈の妥当性が裏付けられる。
• 切り捨てられたグラミアンは、計算コストを顕著に削減しつつ、精度を維持し、安定な低次元化モデルの実現を可能にする。
• FitzHugh-Nagumo系において、バランスド・トレunctionは極限円周運動のダイナミクスを正確に捉えるのに対し、線形 $ ilde{H}_2$-最適補間を用いたモーメントマッチング法はそれらを再現できなかった。
• バランスド・トレunctionにより得られた低次元化システム（$ ilde{n}=20$）は、元のシステムの挙動、特に極限円周運動を正確に再現するが、モーメントマッチング法では、次元チューニングを行っても安定的かつ高精度な結果を得ることはできなかった。