[論文レビュー] Balanced Truncation Model Reduction for Lifted Nonlinear Systems

Boris Kramer, Karen Willcox|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2019

Model Reduction and Neural Networks被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、補助変数を用いて時間変動および不確実な入力を有する非線形系を2次・バイリニア（QB）形式に上げることで、非線形系に対するバランストランセンドモデル低減法を提案する。この方法は、上げられたシステム行列におけるゼロ固有値の問題に対処するため、人工的安定化を導入し、計算効率の良いバランストランセンドを可能にする。訓練データが不適切な場合でも、POD-DEIMを上回る精度を示し、チューブリアクターのモデルを用いて実証されている。

ABSTRACT

We present a balanced truncation model reduction approach for a class of nonlinear systems with time-varying and uncertain inputs. First, our approach brings the nonlinear system into quadratic-bilinear~(QB) form via a process called lifting, which introduces transformations via auxiliary variables to achieve the specified model form. Second, we extend a recently developed QB balanced truncation method to be applicable to such lifted QB systems that share the common feature of having a system matrix with zero eigenvalues. We illustrate this framework and the multi-stage lifting transformation on a tubular reactor model. In the numerical results we show that our proposed approach can obtain reduced-order models that are more accurate than proper orthogonal decomposition reduced-order models in situations where the latter are sensitive to the choice of training data.

研究の動機と目的

• 訓練データが不適切に選ばれたり、利用できない場合に、固有直交分解（POD）が非線形モデル低減において限界を示す問題を解決すること。
• 軌道に基づく訓練データに依存しない、時間変動および不確実な入力を有する非線形系のモデル低減フレームワークを構築すること。
• 大規模非線形系において状態依存のバランス変換が計算的に非現実的である問題を、状態に依存しないグラミアンを用いることで克服すること。
• ゼロ固有値を持つシステム行列を有する上げられた2次・バイリニア系にバランストランセンドを適用可能にする。これは、上げ変換において一般的に生じる問題である。
• すべての高価な行列演算を上げられた次元ではなく、元のシステム次元で行うことで、計算的に効率的な手法を提供すること。

提案手法

• 一般非線形系を補助変数を用いて2次・バイリニア（QB）形式に変換するためのマルチステージの上げ変換を適用する。
• 上げられたシステム行列におけるゼロ固有値が引き起こす不安定性に対処するため、人工的安定化パラメータを導入する。
• QB系に適応された切断グラミアンに基づくバランストランセンド法を、上げられたフレームワークに適合させ、計算効率を確保する。
• 上げられた変数の定義を用いて、元のシステム次元でバランスをとれる変換を導出する。これにより、高次元計算を回避する。
• 上げられたQB系の切断グラミアンを用いて、低次元モデル（ROM）をバランストランセンドにより構築する。
• すべての高価な行列演算を、上げられた次元ではなく元のシステム次元で行うことで、計算の扱いやすさを維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた微分方程式が既知である非線形系において、時間変動および不確実な入力を有する系にバランストランセンドを効果的に適用できるか？
• RQ2 一般非線形系をQB形式に変換する上げプロセスは、構造的性質を保ちながらどのように実現できるか？
• RQ3 ゼロ固有値を持つシステム行列を有する上げられたQB系にバランストランセンドを適用するには、どのような修正が必要か？
• RQ4 訓練データがノイズを含むか、不適切に選ばれた場合でも、提案手法がPOD-DEIMを精度面で上回れるか？
• RQ5 本手法で導入された人工的安定化パラメータは、低次元モデルの精度と安定性を保持するか？

主な発見

• 訓練データが不適切またはノイズを含む場合でも、提案されたQBバランストランセンド（QB-BT）法は、POD-DEIM法よりも一貫して高い精度の低次元モデルを生成する。
• ノイズを含むスナップショットを用いたケース1では、r=4のときQB-BT ROMの出力誤差は6.51×10⁻⁴であったのに対し、POD-DEIMは1.47×10⁻³を記録し、2桁の改善が達成された。
• 訓練および予測の初期条件が異なるケース4では、r=20のときQB-BT ROMの出力誤差は3.66×10⁻⁴であり、POD-DEIMの4.38×10⁻⁴を上回った。両者とも振幅予測に困難を示したが、QB-BTが優れた性能を示した。
• 定常、周期的、減衰する入力など多様な入力シナリオにおいて、QB-BT法は一貫した誤差性能を示し、ロバスト性を確認した。
• すべての行列演算を元のシステム次元で行うことで、計算の効率性が維持され、上げられた空間で計算を行う高コストを回避した。
• 数値結果により、QB-BTはPOD-DEIMが訓練データの質に敏感であるような状況において特に優位であることが確認され、実用的工学応用におけるより信頼性の高い代替手法であることが示された。