[論文レビュー] Balayage of measures and subharmonic functions on a system of rays. I. Classic case

Б. Н. Хабибуллин, A. V. Khasanova|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2018

Holomorphic and Operator Theory参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、複素平面における共通の原点をもつ放射線系上における測度および次調和関数の古典的バレーージュ（掃き出し）を展開する。外部で調和的であり、放射線上で元の関数と一致するような次調和関数を構成する手法を確立し、整関数および次調和関数の正規的成長に関する新しい基準と、非凸かつ非有界領域における指数関数的系の完全性に関する条件を提示する。

ABSTRACT

We develop classical balayage (sweeping) measures and subharmonic functions on the ray system $S$ with a general origin on the complex plane $\mathbb C$. This allows for a subharmonic function $v$ on $\mathbb C$ to construct also a subharmonic function on $\mathbb C$ that is harmonic outside $S$ and coincides with $v$ on $S$. We give applications to the relationship between the growth of an entire function on $S$ and the distribution of its zeros, the conditions of complete regular growth of entire and subharmonic functions on the ray system, to the problems of incompleteness of exponential systems in the spaces of holomorphic functions in nonconvex unbounded open sets narrowing near infinity. This first part of our work contains the necessary preparatory material for the construction of a new type of finite genus balayage on $S$ in the second part.

研究の動機と目的

• 複素平面における共通の原点をもつ放射線系上における測度および次調和関数の古典的バレーージュ技術を開発すること。
• 外部で調和的であり、放射線上で元の関数と一致するような次調和関数を構成すること。
• 同じ放射線系上における有限型の一般化バレーージュの後続的展開の基盤を提供すること。
• 零点の分布および成長測度の観点から、整関数および次調和関数の完全正規的成長に関する新しい基準を確立すること。
• 非凸かつ非有界領域における正則関数空間における指数関数的系の完全性に関する条件を調査すること。

提案手法

• 非コンパクトかつ非凸な放射線系に適応された古典的バレーージュ技術を用いる。
• 成長および境界挙動を分析するために、調和測度およびポisson積分表現を適用する。
• Riesz表現定理を用いて、次調和関数をその関連測度を介して表現する。
• Blaschke条件およびLindelöf条件を、放射線系の文脈で導入し、分析する。
• 繰り返し積分および測度論的構成を用いて、バレーージュを放射線系へ一般化する。
• 理論を応用して、成長の正規性および正則関数空間における指数関数的系の完全性に関する条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素平面における共通の原点をもつ放射線系に対して、古典的バレーージュをどのように拡張できるか。
• RQ2 C 上の次調和関数が、放射線系の外部で調和的関数に変換可能となる条件は何か。このとき、放射線上で元の値を保たれる。
• RQ3 整関数が放射線系上で完全正規的成長を示すための必要十分条件は何か。
• RQ4 整関数の零点の分布は、その放射線系における成長とどのように関係するか。
• RQ5 非凸かつ非有界領域における正則関数空間における指数関数的系の完全性を保証する条件は何か。

主な発見

• C 上の放射線系に対して、古典的バレーージュ手法が成功裏に拡張され、外部で調和的であり、放射線上で元の関数と等しい次調和関数の構成が可能となった。
• 本稿では、零点または関連測度の分布に基づき、整関数および次調和関数の完全正規的成長に関する基準が確立された。
• Blaschke条件が次調和関数の観点から再定式化され、関連する整関数の存在に対する必要十分条件が得られた。
• バレーージュ技術を用いて、非凸かつ非有界領域における正則関数空間における指数関数的系の完全性に関する条件が導出された。
• 本手法により、Rubel–Malliavin定理における指数型整関数のインジケータ図形の最小幅に関する一般化が完全に可能となった。
• 適切な成長および測度条件の下で、$ u + \log|g| $ が零型の次調和関数であるような非ゼロの整関数 $ g $ の存在が理論的に支持された。