[論文レビュー] Ball mapper: a shape summary for topological data analysis

Paweł Dłotko|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2019

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 7被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、ボールベースのクラスタリング手法を用いてデータの形状要約を構築する、新しいトポロジカルデータ解析手法であるBall Mapper（BM）を紹介する。従来のMapperアルゴリズムとは異なり、BMは距離に基づくクラスタリングによる幾何的近接性に依存しており、次元数やノイズレベルの変動に対しても、ロバストでスケーラブルかつパラメータに敏感でない、局所的および大域的データ構造の可視化を可能にする。

ABSTRACT

Topological data analysis provides a collection of tools to encapsulate and summarize the shape of data. Currently it is mainly restricted to \emph{mapper algorithm} and \emph{persistent homology}. In this paper we introduce new mapper--inspired descriptor that can be applied for exploratory data analysis.

研究の動機と目的

• パーゼンティッドホモロジーとMapper以外に、新たな厳密な形状記述子がトポロジカルデータ解析において不足しているという問題に取り組む。
• 任意の関数の選択やクラスタリングパラメータに依存せずに、局所的および大域的データ構造を捉える手法を開発すること。
• 埋め込み空間における高次元空間でのトポロジカル特徴を保持する、従来のMapperとは異なり幾何的に根拠を持つ代替手法を提供すること。
• 直感的で計算的に効率的かつノイズや次元数に対してロバストな、探索的データ解析を可能にする手法を実現すること。

提案手法

• Ball Mapperは、データポイントを中心とする半径εのボールでデータを被覆することでグラフを構築する。各ボールは近接する点のクラスタを表す。
• アルゴリズムは距離行列を用いて近傍を定義し、クラスタリングが外部関数に依存せず、内挿的幾何に依存することを保証する。
• 得られるグラフにおける頂点は重複するボール内の点のクラスタに対応し、クラスタ同士が重なればエッジが形成される。
• 本手法は重み付きグラフへ一般化可能であり、距離行列または類似度測度が定義された任意の離散的距離空間に適用可能である。
• εを変化させることでマルチスケール構築が可能となり、さまざまなスケールにおける階層的トポロジカル特徴の可視化が可能になる。
• スパarsificationは、固定数未満の点を含む被覆要素を削除することで行われ、解釈可能性の向上とノイズの低減を図る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 従来のMapperとは異なり、外部の実数値関数に依存しないトポロジカル記述子を構築することは可能か？
• RQ2 高次元およびノイズの多いデータセットにおいて、局所的および大域的データ構造を保持する形状要約をどのように構築できるか？
• RQ3 Ball Mapper手法は、従来のMapperに比べて、体積的および内在的幾何的特徴をどの程度よく保持するか？
• RQ4 データサイズおよび次元数の増加に伴い、本手法はどの程度スケーリングし、ノイズに対してどの程度ロバストか？
• RQ5 Ball Mapperグラフは、ラッキーキャット像やIrisデータのような複雑なデータセットにおいて、サイクルやクラスタといった意味のあるトポロジカル特徴を明らかにできるか？

主な発見

• Yジャンクションデータセットにおいて、Ball Mapperは埋め込み次元にかかわらずトポロジカル構造を正確に回復するが、従来のMapperはレンズ関数がデータ幾何に一致しない場合に失敗する。
• R³に埋め込まれた2次元トーラスにおいて、Ball Mapperは平均頂点次数が5〜6であるため、局所的に2次元の体積的構造を明らかにする。一方、従来のMapperは単純化されたループ構造を生成する。
• Irisデータセットにおいて、ε = 0.5の時点で*Iris-setosa*が他の2種と明確に分離され、ε = 0.9で完全なクラスタリングが達成され、ε = 1.8で*versicolor*と*virginica*が融合する。これは既知の生物学的分類と整合的である。
• ラッキーキャットデータセットにおいて、Ball Mapperは16,384次元空間においても円形構造を正しく捉え、ε ≈ 5000の直前でサイクルが形成され、マルチスケール構築によりサンプリングの非一様性も明らかになる。
• ノイズに対して安定性を示す：X字シグナルに150%の一様ノイズを加えても、スパarsificationにより希な被覆要素を除去した後、BMグラフはコアとなるトポロジカル特徴を保持する。
• Ball Mapperは高次元埋め込みに対してもロバストであり、次元数の増加に伴い性能が低下しない。これに対して、従来のMapperはレンズ関数の選択に依存するため、次元数の増加に伴い性能が劣化する。