[論文レビュー] Ballot theorems for random walks with finite variance

Louigi Addario‐Berry, Bruce A. Reed|ArXiv.org|Feb 18, 2008

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 14被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、有限分散をもつ平均ゼロのランダムウォークに対して一般化されたボールトの定理を確立し、終点が $ k \leq \sqrt{n} $ であると条件づけたとき、ウォークが全期間にわたり正のままである確率が漸近的に $ k/n^{1/2} $ に比例することを証明している。この結果は、分散が無限大であるか $ k \gg \sqrt{n} $ である場合には成り立たないことが、格子分布および安定分布を用いた明示的な反例によって示され、最良の結果であることが裏付けられている。

ABSTRACT

We prove an analogue of the classical ballot theorem that holds for any random walk in the range of attraction of the normal distribution. Our result is best possible: we exhibit examples demonstrating that if any of our hypotheses are removed, our conclusions may no longer hold.

研究の動機と目的

• 有限分散をもつ一般の平均ゼロのランダムウォークへ、ベルトランの古典的ボールトの定理を拡張すること。
• ランダムウォークが正のままである確率の正確な漸近的挙動を、終点位置を条件づけたもとで特定すること。
• 仮定（有限分散または $ k = O(\sqrt{n}) $）が満たされない場合の反例を構成することで、結果の鋭さを確立すること。
• パスの正性を条件づけることで、離散的ボールトの定理と連続的極限定理を統合すること。

提案手法

• 格子構造と許容可能な境界を用いて、平均ゼロで有限分散をもつランダムウォークに対する一般化されたボールトの定理を形式化する。
• 増加過程 $ S' $ への変換を用いて、正の性質を最初の通過時間の事象に再定式化する。
• Kesten (1972) の定理を適用し、$ S_n $ が長さ 1 の区間内に集中する確率をバインドすることで、条件づけの均一性を保証する。
• Pemantle と Peres (1995) の補題 3 を用いて、負のレベルに到達する確率を制御する。
• ステップサイズの多重集合を構成し、その合成がパスの挙動を模倣するようにすることで、分散が無限大であるか $ k \gg \sqrt{n} $ である場合の反例を構成する。
• 重ね合わせの上限と、ウォークの重複しない部分にわたる独立性を用いて、条件づけられた状態におけるレアイベントの確率をバインドする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限分散をもつ平均ゼロのランダムウォークに対して、ボールト確率 $ \mathbf{P}(S_i > 0 \, \forall i < n \mid S_n = k) $ が $ \Theta(k/n^{1/2}) $ にスケーリングする条件は何か？
• RQ2 $ k = O(\sqrt{n}) $ の条件は、このようなスケーリングが成り立つために必要であるか、あるいは緩和可能か？
• RQ3 有限分散をもつ実数値のマルコフ連鎖に対しても、類似のボールトの定理を拡張できるか？
• RQ4 和が $ k $ に等しい $ n $ 個の実数の多重集合が、そのランダム順列のすべての部分和が正である確率を $ \Theta(k/n) $ に保つために必要な構造的性質は何か？
• RQ5 ステップ分布が有限分散をもたず、安定分布の吸引域に属する場合でも、この結果は成立するか？

主な発見

• 任意の有限分散をもつ平均ゼロのランダムウォークに対して、$ S_n \in [k, k+A] $ であると条件づけたとき、時間 $ n $ まで正のままである確率は、ステップ分布および $ A $ に依存する定数 $ C $ を用いて、$ C \max\{k,1\}/n^{1/2} $ で上から抑えられる。
• $ 0 < k \leq \sqrt{n} $ の場合、同じ確率は $ \max\{k,1\}/(C n^{1/2}) $ で下から抑えられ、$ \Theta(k/n^{1/2}) $ のスケーリングが確立される。
• この結果は鋭い：$ \mathbf{E}[X^2] = \infty $ の場合、$ \Theta(k/n^{1/2}) $ のスケーリングは成り立たない。これは、重い尾をもつステップを用いた反例によって示されている。
• $ k \gg \sqrt{n} $ の場合にも、スケーリングは成り立たない。これは、$ k $ が大きくてもウォークが正のままである確率が小さい反例によって示されている。
• 3.3節の反例は、どの安定分布の吸引域にも属さないステップ分布を用いており、吸引域仮定のもとでのボールトの定理の可能性が未解決のまま残っている。
• 本稿では、$ \sqrt{n} $ で終わるウォークが正のままである確率が $ O(\log^{13/2}n / n^{5/4}) $ に減少することを証明しており、主定理における下界のタイトネスを確認している。