[論文レビュー] Ballot tilings and increasing trees

Keiichi Shigechi|arXiv (Cornell University)|May 18, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、タイプBにおけるDyckタイリングの一般化であるボールトタイリングの母関数に対して、植生平面木、Hermite歴史、一般化された完全マッチングを用いて全単射的証明を確立する。ボールトタイリングの母関数が固定された下部パスに対して因数分解可能であることを示し、Kazhdan–Lusztig多項式および量子整数と関連づけ、Dyckタイリングにおける既知の結果を木に基づく組合せ的構造を通じてボールト設定へと拡張する。

ABSTRACT

We study enumerations of Dyck and ballot tilings, which are tilings of a region determined by two Dyck or ballot paths. We give bijective proofs to two formulae of enumerations of Dyck tilings through Hermite histories. We show that one of the formulae is equal to a certain Kazhdan--Lusztig polynomial. For a ballot tiling, we establish formulae which are analogues of formulae for Dyck tilings. Especially, the generating functions have factorized expressions. The key tool is a planted plane tree and its increasing labellings. We also introduce a generalized perfect matching which is bijective to an Hermite history for a ballot tiling. By combining these objects, we obtain various expressions of a generating function of ballot tilings with a fixed lower path.

研究の動機と目的

• Kimによって証明されたDyckタイリングの2つの予想された公式を、タイプBIおよびBIIIのボールトタイリングへ一般化すること。
• ボールトタイリング、Hermite歴史、一般化された完全マッチングの間の全単射的関係を確立すること。
• 固定された下部パスを持つボールトタイリングの母関数が因数分解可能であることを示し、Dyckタイリングにおける因数分解結果を拡張すること。
• 木のラベリングを通じて、ボールトタイリング母関数をKazhdan–Lusztig多項式および量子整数と関連づけること。
• 再帰関係および積分形式を含む、ボールトタイリング母関数の複数の同等な表現を提供すること。

提案手法

• ラベルが増加する植生平面木（Lascoux–Schützenberger型）を、中心的な組合せ的モデルとして用いる。
• ボールトタイリングのためのHermite歴史を導入し、Hermite歴史と一般化された完全マッチングとの間の全単射を構成する。
• ラベリング上の次数関数（例：deg₁₀、deg₁₁）を定義し、母関数における重みを符号化する。
• 木の分解から得られる再帰関係を適用し、母関数を明示的に解く。
• 木のラベリングの逆前順語を用いて逆転統計を解釈し、母関数と関連づける。
• 量子整数および(1+q^i)項を含む積分公式を通じて、母関数の因数分解を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Dyckタイリングの2つの予想された公式を、タイプBIおよびBIIIのボールトタイリングへどのように一般化できるか？
• RQ2 固定された下部パスを持つボールトタイリングの母関数の組合せ的解釈は何か？
• RQ3 ボールトタイリングはKazhdan–Lusztig多項式および量子整数とどのように関連しているか？
• RQ4 ボールトタイリングの母関数を、因数分解形および再帰的表現を含む複数の同等な形で表現できるか？
• RQ5 一般化された完全マッチングおよびHermite歴史は、ボールトタイリングの構造をどのように符号化しているか？

主な発見

• 下部パスを固定したタイプBIIIのボールトタイリングの母関数は、Dyckタイリングの母関数と追加の因子の積に因数分解される。
• 下部パスを固定したタイプBIのボールトタイリングの母関数は、定理7.4で示されるように因数分解可能である。
• タイプBIのボールトタイリングの母関数は、次数関数deg₁₁(L)による重みq^{deg₁₁(L)}の木のラベリングに関する和として表され、(1+q^i)項の積とも乗じられる。
• ラベリングとボールトタイリングとの間の全単射が確立され、Dyckタイリングストリップ（DTS）構成が一般化される。
• 母関数が逆前順語の和としてq^{inv(σ)}の形で表され、逆転統計との関係が確認される。
• 母関数は再帰関係を満たし、それらを明示的に解くことで、積形式を含む複数の同等な表現が得られる。