[論文レビュー] Banach-Hecke algebras and p-adic Galois Representations

Peter Schneider, Jeremy Teitelbaum|ArXiv.org|Oct 30, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、p進体上の再帰的群に関連するBanach-Hecke代数のp進的完成形として、Satake同型写像のp進的完成形を構築し、クリスタリンなガロア表現とGL_{d+1}(L)のユニタリなBanach空間表現を結びつける。この研究では、これらの代数の特徴の間に、双対群へのガロアパラメータの対応を確立し、Dieudonnéモジュールとフィルター付き等長体を用いてp進的局所Langlands関手性原理を提示する。

ABSTRACT

We take some initial steps towards illuminating the (hypothetical) $p$-adic local Langlands functoriality principle relating Galois representations of a $p$-adic field $L$ and admissible unitary Banach space representations of $G(L)$ when $G$ is a split reductive group over $L$. The outline of our work is derived from Breuil's remarkable insights into the nature of the correspondence between 2-dimensional crystalline Galois representations of the Galois group of $\Qdss_p$ and Banach space representations of $GL_{2}(\Qdss_p)$.

研究の動機と目的

• p進体上の再帰的群に対してBanach-Hecke代数の文脈で、古典的Satake同型写像をp進的完成形に拡張すること。
• 完成化されたIwahori-Hecke代数の特徴と双対群G′へのガロアパラメータとの間の対応を確立すること。
• Dieudonnéモジュール理論を用いて、GL_{d+1}(L)のクリスタリンなガロア表現と、位相的に既約なユニタリなBanach空間表現との関係を明らかにすること。
• r-フィルター付きK-等長体へと枠組みを一般化し、拡張された群上のガロア表現との関係を調査すること。

提案手法

• 局所コンパクト群G上の、コンパクト台付きでEnd(ρ)-値をとる双不変関数のHecke代数のp進的完成形を、コンパクト開部分群Uの有限次元連続表現ρを用いて構成する。
• Iwahori-Hecke代数の完成化された最大可換部分代数を、双対トーラスT′内の有理的部分集合T′_ρのアフィノイド代数と同一視する。
• T′_ρをWeyl群の作用で割った商が、球面Hecke代数の完成化と同型であり、多くの群Gに対してTate代数であることを示す。
• Breuilの理論を用いて、クリスタリンなDieudonnéモジュールの同型類と、Hodge-Tate重量とFrobenius固有値を介したBanach-Hecke代数の特徴との関係を確立する。
• r ≥ 1に対してr-フィルター付きK-等長体を導入し、古典的状況を超えた枠組みを一般化し、弱L-適性とTannakian構造を保つ。
• Steinbergの定理とZariskiの稠密性の議論を用いて、双対群のK-有理点を、K̄へのガロアパラメータG′(K̄)に持ち上げる。整域性と非分岐拡張のための代数的閉包を考慮する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再帰的群がp進体上で定義されるBanach-Hecke代数の文脈において、Satake同型写像はどのようにp進的完成形に拡張できるか？
• RQ2 完成化されたIwahori-Hecke代数の特徴と双対群G′へのガロアパラメータとの間の正確な対応は何か？
• RQ3 GL_{d+1}(L)のクリスタリンなガロア表現は、DieudonnéモジュールとHodge-Tate重量を通じて、どのようにユニタリなBanach空間表現と関係づけられるか？
• RQ4 局所Langlands対応はr-フィルター付きK-等長体へ一般化可能か？また、これらのカテゴリーはどのような構造を持つのか？
• RQ5 Kの代数的閉包は、Banach-Hecke代数の特徴からガロアパラメータを実現する際に果たす役割は何か？

主な発見

• Iwahori-Hecke代数の完成化された最大可換部分代数は、双対トーラスT′内の有理的部分集合T′_ρのアフィノイド代数と同型であり、Satake同型写像のp進的完成形を提供する。
• T′_ρをWeyl群の作用で割った商は、球面Hecke代数の完成化と同型であり、多くの群Gに対してTate代数である。
• Banach-Hecke代数ℋ̌(G,ρ|U₀)のK-値特徴は、η_Lの整域性仮定のもとで、非空なガロアパラメータの集合Gal(̄L/L) → G′(̄K) を生成する。
• クリスタリン表現とBanach表現との対応は、DieudonnéモジュールD_cris(V)を通じて実現され、滑らかさ部分はWeil群作用から生じ、代数的部品はHodge-Tate重量から生じる。
• r-フィルター付きK-等長体のカテゴリーFIC^{L-adm}_{K,r}は、有理フィルター指数へと一般化された古典的状況を拡張したK-線形中立Tannakianカテゴリーである。
• 任意のr ≥ 1に対して、G′の表現からr-フィルター付き等長体への関手I_{(ν,b)}は弱L-適性を保ち、命題6.1は同じ証明を用いてこの一般化された設定へと拡張可能である。