[論文レビュー] Banach spaces for piecewise cone hyperbolic maps

Viviane Baladi, Sébastien Gouëzel|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、不連続性を伴う部分的コーン双曲的写像に関連する転送作用素に対して、束ねる条件（bunching condition）の下でスペクトルギャップを確立する。非一様Sobolev空間を用いて、先行研究を統一的かつ拡張的に扱う。複雑性が指数的未満の場合、本質的スペクトル半径が1未満であることを証明し、多くの場合（体積保存系や安定次元1の系を含む）で物理的測度の相関関数の指数的減衰と統計的安定性が成立することを示す。

ABSTRACT

We consider piecewise cone hyperbolic systems satisfying a bunching condition and we obtain a bound on the essential spectral radius of the associated weighted transfer operators acting on anisotropic Sobolev spaces. The bunching condition is always satisfied in dimension two, and our results give a unifying treatment of the work of Demers-Liverani and our previous work. When the complexity is subexponential, our bound implies a spectral gap for the transfer operator corresponding to the physical measures in many cases (for example if $T$ preserves volume, or if the stable dimension is equal to 1 and the unstable dimension is not zero).

研究の動機と目的

• 不連続性を伴う部分的コーン双曲的写像の統計的性質に対する関数解析的アプローチを統合・拡張すること。
• 不連続性と特異性を扱える非一様Sobolev空間上での転送作用素の一般枠組みを提供すること。
• 束ねる条件の下で転送作用素にスペクトルギャップが存在することを証明し、物理的測度の相関関数の指数的減衰を保証すること。
• Demers-Liverani (2008) および Baladi-Gou"ezel (2009) の結果を統合的に扱う一貫した枠組みに一般化すること。
• 離散時間のシナモン・ビリヤードにおける相関関数の指数的減衰を、転送作用素のスペクトルギャップを用いて証明する基盤を築くこと。

提案手法

• 著者らは、系の双曲的構造に適合したTriebel-Lizorkinクラスに属する非一様Sobolev空間 $\mathbf{H}_{p}^{t,s}$ を構成する。
• 転送作用素 $\mathcal{L}$ を $\mathcal{L}\omega = \frac{\omega \circ T^{-1}}{|\det DT \circ T^{-1}|}$ で定義し、Banach空間 $\mathbf{H}$ 上に拡張する。
• 転送作用素 $\mathcal{L}$ の本質的スペクトル半径は、束ねる条件と安定・不安定多様体の横断的性質の仮定を用いて評価される。
• 証明は、不連続性集合の収縮する近傍の特性関数が $\mathbf{H}$ 内で有界かつコンパクトであること、物理的測度が不連続性集合に質量を割り当てないことの保証に依拠する。
• 双対性の議論が用いられる：転送作用素 $\mathcal{L}$ の双対作用素がLebesgue測度を保存することを示し、$\mathcal{L}$ の固定点と物理的測度を結びつける。
• $\mathcal{L}$ の反復作用素が一様有界であり、本質的スペクトル半径が1未満であることの証明により、スペクトルギャップが確立される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不連続性を伴う部分的コーン双曲的写像に対して、統一的関数解析的枠組みを構築可能か？ これは先行研究を包含する。
• RQ2 非一様Sobolev空間上での転送作用素が、どのような条件下でスペクトルギャップを示すか？
• RQ3 束ねる条件の下で、転送作用素の本質的スペクトル半径が1未満のままであるか？
• RQ4 スペクトルギャップの結果は、複雑性が指数的未満の系において、物理的測度の相関関数の指数的減衰を示唆するか？
• RQ5 この枠組みは、物理的測度が不連続性集合に質量を割り当てないことを保証するか？

主な発見

• 束ねる条件の下で、非一様Sobolev空間 $\mathbf{H}$ 上での転送作用素 $\mathcal{L}$ の本質的スペクトル半径は1未満である。
• $\mathcal{L}$ は $\mathbf{H}$ 内に固定点を持ち、それは物理的測度に対応する。1は単位円上に唯一の固有値であり、その重複度は1である。
• 複雑性が指数的未満の系では、スペクトルギャップにより物理的測度とホルダー連続観測関数の間で相関関数が指数的に減衰する。
• この枠組みにより、物理的測度が $T$ の不連続性集合に質量を割り当てないことが保証される。これは、収縮する近傍の特性関数が $\mathbf{H}$ 内で0に収束することにより示される。
• 本結果は、Demers-Liverani (2008) および Baladi-Gou"ezel (2009) の先行研究を統合的かつ一般化し、体積保存系や安定次元1の系に適用可能である。
• 本手法はマルコフ分割や人工的拡張写像を避けており、元の力学系の滑らかさを保っている。