[論文レビュー] Banach spaces with no proximinal subspaces of codimension 2

C. J. Read|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2013

Advanced Banach Space Theory参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、イワン・シンガーの長年の予想を反証するため、有限余次元 $ n \geq 2 $ の近似可能部分空間をもたないBanach空間 $(c_0, \|\cdot\|)$ を、巧みに設計されたノルムによって構成する。有理数列の系列と $\ell^1$-汎関数によるスパースな摂動を用いることで、ノルムのGâteaux微分構造が、いかなる有限余次元部分空間に対しても最小距離射影の存在を妨げる。この結果、長年の予想に対する反例を提供する。

ABSTRACT

The classical theorem of Bishop-Phelps asserts that, for a Banach space X, the norm-achieving functionals in X* are dense in X*. Bela Bollobas's extension of the theorem gives a quantitative description of just how dense the norm-achieving functionals have to be: if (x,f) is in X x X* with ||x||=||f||=1 and |1-f(x)|< h^2/4 then there are (x',f') in X x X* with ||x'||= ||f'||=1, ||x-x'||, ||f-f'||< h and f'(x')=1. This means that there are always "proximinal" hyperplanes H in X (a nonempty subset E of a metric space is said to be "proximinal" if, for x not in E, the distance d(x,E) is always achieved - there is always an e in E with d(x,E)=d(x,e)); for if H= ker f (f in X*) then it is easy to see that H is proximinal if and only if f is norm-achieving. Indeed the set of proximinal hyperplanes H is, in the appropriate sense, dense in the set of all closed hyperplanes H in X. Quite a long time ago [Problem 2.1 in his monograph "The Theory of Best approximation and Functional Analysis" Regional Conference series in Applied Mathematics, SIAM, 1974], Ivan Singer asked if this result generalized to closed subspaces of finite codimension - if every Banach space has a proximinal subspace of codimension 2, for example. In this paper I show that there is a Banach space X such that X has no proximinal subspace of finite codimension n>1. So we have a converse to Bishop-Phelps-Bollobas: a dense set of proximinal hyperplanes can always be found, but proximinal subspaces of larger, finite codimension need not be.

研究の動機と目的

• イワン・シンガーが提起した、Banach空間における有限余次元部分空間の近似可能性に関する長年の未解決問題を解決すること。
• 近似可能超平面（余次元1）はBishop-Phelps-Bollobásの定理により常に稠密であるが、これは余次元 ≥2 では成り立たないことを示すこと。
• 特定のBanach空間 $(c_0, \|\cdot\|)$ を、非標準的なノルムを用いて構成し、余次元 ≥2 での近似可能性を阻害すること。
• ノルムの幾何学的・解析的構造—特にスパースで有理数に基づく摂動—が、有限余次元部分空間への最小射影の存在を妨げることを示すこと。
• 近似可能超平面の稠密性と、高余次元におけるその非存在との明確な対比を提示すること。

提案手法

• $c_0$ 上に新しいノルムを定義する。$\|x\| = \|x\|_0 + \sum_{k=1}^\infty 2^{-a_k^2} |\langle x, u_k - e_{a_k} \rangle|$ とし、$u_k \in c_{00}(\mathbb{Q})$ かつ $a_k$ が成長条件を満たすようにする。
• 摂動項をスパースかつ急速に成長させるように設計し、$\|x\| \leq 3\|x\|_0$ が成り立つようにすることで、$c_0$ 構造を保ちつつ方向的非滑らかさを導入する。
• Gâteaux微分解析を用いてノルムの微分可能性を研究し、有限余次元部分空間内の点で方向的滑らかさの欠如を活用する。
• 有限個の汎関数 $\psi_r$ を構成し、それらを $\ell^1$-元 $z_r$ で近似することで、候補となる最小ベクトルとの内積に符号パターンを誘導する。
• 商写像 $\theta: \Phi_0 \to \ell^\infty(A)/c_0(A)$ を用いて、汎関数空間 $\Phi_0$ の像を解析し、$N+1$ 個の線形独立なベクトルを含むことを示す。
• 次に、$\dim \theta\Phi_0 \geq N+1$ であるのに対し $\dim \Phi_0 = N$ であることから矛盾を導き、余次元 $N \geq 2$ のような近似可能部分空間 $H$ が存在し得ないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のBanach空間は、有限余次元 $n \geq 2$ の近似可能部分空間をもつか？
• RQ2 近似可能超平面（Bishop-Phelps-Bollobás）の古典的稠密性結果は、高余次元へ拡張可能か？
• RQ3 余次元 $n \geq 2$ の部分空間がすべて近似可能でないようなBanach空間は存在するか？
• RQ4 ノルムのどのような構造的性質が、有限余次元での近似可能性を妨げるか？
• RQ5 $c_0$ ノルムに対する非滑らかでスパースな摂動は、余次元1を越えて近似可能性を遮断できるか？

主な発見

• 構成されたBanach空間 $(c_0, \|\cdot\|)$ は、有限余次元 $n \geq 2$ の近似可能部分空間をもたず、シンガーの予想に対する反例を提供する。
• ノルムは、$a_k$ のスパースで急速に成長する列を用いた $\ell^1$-セミノルムの和として定義され、$\|x\| \leq 3\|x\|_0$ を満たす。
• 有限余次元部分空間内の点でノルムのGâteaux微分が制御された方法で存在せず、最小射影の存在が妨げられる。
• 商写像 $\theta$ による汎関数空間 $\Phi_0$ の像は、少なくとも次元 $N+1$ をもつ必要があるが、これは $\dim \Phi = N$ と矛盾する。
• 近似汎関数 $z_r$ との内積の符号パターンにより、$\mathbb{R}^{N+1}$ 内で $N+1$ 個の線形独立なベクトルが生成され、矛盾を強制する。
• この結果、明確な二分法が確立される：近似可能超平面は常に稠密であるが、余次元 ≥2 では同様の保証は成り立たない。