[論文レビュー] Banach spaces without local unconditional structure

R. Komowski, Nicole Tomczak-Jaegermann|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 1993

Advanced Banach Space Theory参考文献 6被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、局所的無条件構造（L.U.S.）を欠く広範なバナッハ空間のクラスに属する部分空間の一般的構成を提示し、有限型のバナッハ空間が常に ℓ² または無条件基底を持たないがシュレーデル基底を備えた部分空間を含むことを示している。主な貢献は、有限型空間が本質的に強い非無条件的性質を有する部分空間を含む構造的特徴付けを示したことである。これはバナッハ空間理論における無条件構造の理解を前進させる。

ABSTRACT

For a large class of Banach spaces, a general construction of subspaces without local unconditional structure is presented. As an application it is shown that every Banach space of finite cotype contains either $l_2$ or a subspace without unconditional basis, which admits a Schauder basis. Some other interesting applications and corollaries follow.

研究の動機と目的

• バナッハ空間において局所的無条件構造を欠く部分空間を一般化して構成するための手法を開発すること。
• 有限型バナッハ空間が必ず ℓ² または無条件基底を持たない部分空間を含むかどうかという長年の未解決問題に取り組むこと。
• 新しい幾何的構成を用いて、バナッハ空間における無条件基底の構造的制限を明確化すること。
• 既知の局所理論の結果を拡張するため、広範なバナッハ空間クラスに適用可能な枠組みを提供すること。

提案手法

• 広範なバナッハ空間クラスに一般的な幾何的構成を適用し、局所的無条件構造を欠く部分空間を生成する。
• 有限型と双対性の性質に依存して基本列の振る舞いを制御する。
• 構成された部分空間にシュレーデル基底の存在を重要な構造的制約として用いる。
• ある種のノルムの再定義に対して不変であり、有限型性質を保つ。
• 局所理論、タイプとコタイプ、およびシュレーデル基底理論の技術を統合して分析する。
• 無条件基底を持たない空間は ℓ² に同相でないという事実を活用し、構造的二分法による分類を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の構成によって、有限型バナッハ空間において局所的無条件構造を欠く部分空間を生成できるか？
• RQ2 すべての有限型バナッハ空間は、必ず ℓ² または無条件基底を持たない部分空間を含むのか？
• RQ3 どのような構造的性質が部分空間が局所的無条件構造を欠くのを防ぐのか？
• RQ4 タイプとコタイプは、部分空間における無条件基底の存在にどのように影響するか？
• RQ5 バナッハ空間の局所構造は、そのグローバルな幾何的性質によってどの程度制御可能か？

主な発見

• すべての有限型バナッハ空間は、ℓ² または無条件基底を持たないがシュレーデル基底を備えた部分空間を含む。
• 構成された部分空間は局所的無条件構造を欠くことが示され、これはいかなる無限次元部分空間も無条件基底のブロック部分列と一様に同値でないことを意味する。
• この手法は、すべての有限型空間を含む広範なバナッハ空間クラスに適用可能である。
• この結果は、有限型空間においては、ℓ² を含むか、あるいは無条件基底を持たない部分空間を含むという二分法が成り立つことを示唆する。
• この構成により、無条件基底の欠如がシュレーデル基底の存在と両立可能であることが示され、基底理論における構造的問題が解決された。
• 論文は、局所的無条件構造が、有限型のような良好な性質を持つ空間ですら普遍的特徴ではないことを確立した。