[論文レビュー] Banach Symmetric Spaces

Michael Klotz|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2009

Advanced Differential Geometry Research参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、接続された1次元かつ測地的に完全なアフィンバナッハ多様体間のアフィン写像への、Lie三重系の準同型写像の一意的統合を示すことで、バナッハ対称空間のLie理論を確立する。その条件は、接空間の写像がねじれと曲率を交換させることである。さらに、連結バナッハ対称空間の自己同型群が滑らかで推移的に作用するバナッハ＝リー群であることを示し、その結果、空間はバナッハ同調空間 $ M \cong G/G_b $ であることが示される。

ABSTRACT

A Banach symmetric space in the sense of O. Loos is a smooth Banach manifold $M$ endowed with a multiplication map $μ\colon M imes M o M$ such that each left multiplication map $μ_x := μ(x,\cdot)$ (with $x \in M$) is an involutive automorphism of $(M,μ)$ with the isolated fixed point $x$. We show that morphisms of Lie triple systems of symmetric spaces can be uniquely integrated provided the first manifold is 1-connected. The problem is attacked by showing that a continuous linear map between tangent spaces of affine Banach manifolds with parallel torsion and curvature is integrable to an affine map if it intertwines the torsion and curvature tensors provided the first manifold is 1-connected and the second one is geodesically complete. Further, we show that the automorphism group of a connected Banach symmetric space $M$ can be turned into a Banach-Lie group acting smoothly and transitively on $M$. In particular, $M$ is a Banach homogeneous space.

研究の動機と目的

• 対称空間の古典的理論を無限次元のバナッハ設定に拡張すること。
• バナッハ圏におけるLie三重系の準同型写像の可積分性問題を解決すること。
• 連結バナッハ対称空間の自己同型群が自然にバナッハ＝リー群であることを示すこと。
• 平行なねじれと曲率を持つアフィンバナッハ多様体へのCartan-Ambrose-Hicks定理の一般化。
• バナッハ＝リー群作用を通じて、バナッハ対称空間が同調空間 $ M \cong G/G_b $ として成立することを確立すること。

提案手法

• 平行なねじれと曲率を持つアフィンバナッハ多様体に、Cartan-Ambrose-Hicks定理を適応する。
• 局所的なアフィン写像を接空間の同型写像から、測地的折れ線による拡張を用いて大域的に統合する。
• 写像のグラフの技術を用いて、積多様体内にアフィン部分多様体を構成する。
• 微分作用素の統合を通じて、対称空間の自己同型群をバナッハ＝リー群として構成する。
• 評価写像 $ \operatorname{ev}_b: \operatorname{Der}(M,\mu) \to T_bM $ を用いて、部分代数の閉性と位相的構造を示す。
• 共役写像 $ c_{\mu_b}(g) = \mu_b \circ g \circ \mu_b $ を用いて、自己同型群上の対合を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハ対称空間に関連するLie三重系の準同型写像は、アフィン写像に一意的に統合可能か？
• RQ2 アフィンバナッハ多様体の接空間間の連続線形写像が、何の条件下でアフィン写像に統合可能か？
• RQ3 連結バナッハ対称空間の自己同型群は自然にバナッハ＝リー群か？
• RQ4 非コンパクトまたは無限次元モデルを持つバナッハ設定におけるCartan-Ambrose-Hicks定理はどのように拡張されるか？
• RQ5 バナッハ＝リー群作用を持つバナッハ対称空間に対して、同調空間構造 $ M \cong G/G_b $ を確立できるか？

主な発見

• 平行なねじれと曲率を持つアフィンバナッハ多様体 $ M_1, M_2 $ の接空間間の連続線形写像 $ A: T_{b_1}M_1 \to T_{b_2}M_2 $ は、$ M_1 $ が1次元連結で $ M_2 $ が測地的に完全なとき、一意的にアフィン写像 $ f: M_1 \to M_2 $ に統合可能である。
• 領域多様体が1次元連結であれば、対称空間のLie三重系の準同型写像は一意的に統合可能である。
• 連結バナッハ対称空間 $ M $ の自己同型群 $ \operatorname{Aut}(M,\mu) $ は、滑らかで推移的に作用するバナッハ＝リー群である。
• 空間 $ M $ は同型 $ G/G_b $ に同型であり、ここで $ G = \operatorname{Aut}(M,\mu) $ で $ G_b $ は点 $ b \in M $ の固定部分群である。
• 評価写像 $ \operatorname{ev}_b: \operatorname{Der}(M,\mu) \to T_bM $ は連続的であり、導来代数の分解 $ \operatorname{Der}(M,\mu) = \operatorname{Der}(M,\mu)_+ \oplus \operatorname{Der}(M,\mu)_- $ はバナッハ空間の直和である。
• 軌道写像 $ \tau_b: \operatorname{Aut}(M,\mu) \to M $, $ g \mapsto g(b) $ はサブマニホールドであり、商写像 $ \Phi: G/G_b \to M $ が微分同相写像であることが保証される。