[論文レビュー] Band structure of the Ruelle spectrum of contact Anosov flows

Fréderic Faure, Masato Tsujii|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、接触アノソフ流れにおけるルイエル＝ポリコフ共振のバンド構造を確立し、|Im z| → ∞ のとき、固有値が複素平面上で縦方向のバンドに集積することを示している。最初のバンドは、減衰関数 D = V − ½ div X|Eᵤ の空間平均のまわりに集中しており、共振密度のウェイル則を用いた力学的相関関数の漸近展開が可能になる。

ABSTRACT

If X is a contact Anosov vector field on a smooth compact manifold M and V is a smooth function on M, it is known that the differential operator A=-X+V has some discrete spectrum called Ruelle-Pollicott resonances in specific Sobolev spaces. We show that for |Im(z)| large the eigenvalues of A are restricted to vertical bands and in the gaps between the bands, the resolvent of A is bounded uniformly with respect to |Im(z)|. In each isolated band the density of eigenvalues is given by the Weyl law. In the first band, most of the eigenvalues concentrate of the vertical line Re(z)=< D >, the space average of the function D(x)=V(x)-1/2 div(X)/E_u where Eu is the unstable distribution. This band spectrum gives an asymptotic expansion for dynamical correlation functions.

研究の動機と目的

• 従来の漸近的評価を超えて、接触アノソフ流れのルイエル＝ポリコフ共振のスペクトル記述を精緻化すること。
• ソボレフ空間における作用素 A = −X + V の離散スペクトルの複素平面上のバンド構造を確立すること。
• 各スペクトルバンド内の固有値の分布および密度、特に最初のバンドにおけるものを特定すること。
• スペクトルバンド構造と力学的相関関数の漸近的挙動を結びつけること。
• エルゴード性により、最初のバンド内の固有値が減衰関数 D = V − ½ div X|Eᵤ の空間平均のまわりに集積することを証明すること。

提案手法

• スケール ħ^{1/2−ε} における局所的分解を用いた微局所解析と、捕獲集合 K の近傍での流れの分解。
• K に直交する分裂 E_u^(2) ⊕ E_s^(2) に適合した微局所的脱出関数を用いて、非一様ソボレフ空間 H_C を構成する。
• 移行作用素 F_t = e^{tA} を、T_ρK 上でユニタリで、(T_ρK)^⊥ 上で減衰するテンソル積に分解する。
• 各バンド k に対して、減衰成分の離散スペクトルを用いて局所的スペクトル射影子 Π_k を定義する。
• 局所射影子をグローバルに貼り合わせて、各バンド B_k に対するスペクトル作用素を構成する。
• 射影子 Π_k によって制限された局所作用素のスペクトル推定から、バンド位置 γ_k^± を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 |Im z| → ∞ の極限において、接触アノソフ流れのルイエル＝ポリコフスペクトルはどのように構造化されているか？
• RQ2 複素平面上のスペクトルバンドの位置と幅は、何によって決定されるか？
• RQ3 各バンド内の固有値密度の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ4 なぜ最初のバンド内の大多数の固有値が Re(z) = ⟨D⟩_M の直線上に集積するのか？
• RQ5 バンド構造を用いて、力学的相関関数の漸近展開を導出できるか？

主な発見

• 作用素 A = −X + V のルイエル＝ポリコフスペクトルは、各バンド B_k = {z ∈ ℂ : Re(z) ∈ [γ_k^−, γ_k^+]} の合併集合に含まれており、γ_k^± は減衰関数 D の時間平均の上界・下界として明示的に与えられる。
• 分離された各バンド B_k において、虚部が [b, b + b^ε] にある固有値の個数 N(b) は、b → ∞ のとき |b|^d に比例する（dim M = 2d + 1）。これはウェイル則の確認である。
• 最初のバンド B_0 において、大多数の固有値は、D = V − ½ div X|Eᵤ の空間平均 ⟨D⟩_M に沿う垂直線 Re(z) = ⟨D⟩_M に集中しており、これはエルゴード性によるものである。
• 分離されたバンドの間では、作用素 A のリゾルベントは |Im z| に関して一様に有界であり、スペクトルギャップを示している。
• 力学的相関関数の漸近的挙動は、最初のバンド B_0 内の無限離散スペクトルによって支配されている。
• 本結果は、減衰波動方程式のスペクトル理論を一般化し、接触アノソフ系におけるルイエル共振に関する先行研究を拡張している。