[論文レビュー] Band Topology of Insulators via the Entanglement Spectrum

Ari M. Turner, Yi Zhang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2009

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、トポロジカルバンド絶縁体のエンタングルメントスペクトルが、トポロジカル的表面状態が存在する場合に保護されたモードを有することを確立している。一方で、物理的表面状態のない絶縁体においても、保護されたエンタングルメントモードが生じることを明らかにした。具体的には、反転対称性を持つ系において、反転がエンタングルメントスペクトル上で非ユニタリ演算子として作用する場合、エンタングルメントを介して検出可能なロバストなトポロジカル位相が生じる。これは、エンタングルメントスペクトルが、従来の端状態対応関係を越えて、バンドトポロジーを普遍的に探査する手段であることを示している。

ABSTRACT

How do we uniquely identify a quantum phase, given its ground state wave-function? This is a key question for many body theory especially when we consider phases like topological insulators, that share the same symmetry but differ at the level of topology. The entanglement spectrum has been proposed as a ground state property that captures characteristic edge excitations. Here we study the entanglement spectrum for topological band insulators. We first show that insulators with topological surface states will necessarily also have protected modes in the entanglement spectrum. Surprisingly, however, the converse is not true. Protected entanglement modes can also appear for insulators without physical surface states, in which case they capture a more elusive property. This is illustrated by considering insulators with only inversion symmetry. Inversion is shown to act in an unusual way, as an antiunitary operator, on the entanglement spectrum, leading to this protection. The entanglement degeneracies indicate a variety of different phases in inversion symmetric insulators, and these phases are argued to be robust to the introduction of interactions.

研究の動機と目的

• エンタングルメントスペクトルが、絶縁体におけるトポロジカル量子位相を一意に特定できるかどうかを同定すること。
• 保護されたエンタングルメントモードと物理的トポロジカル表面状態との関係を調査すること。
• 反転対称性がエンタングルメントスペクトルに非自明に作用する場合、それが保護された簡約性を生じる仕組みを明らかにすること。
• 物理的エッジモードが存在しない状況においても、エンタングルメントスペクトルがトポロジカル不変量を検出可能であることを確立すること。
• 相互作用の導入に対しても、エンタングルメントに基づくトポロジカル分類がロバストであることを示すこと。

提案手法

• 著者たちは、系を左・右の部分系に分割したときの状態関数のスミット分解を用い、縮約密度行列の固有値としてエンタングルメントスペクトルを定義する。
• エンタングルメントスペクトルを切断面に平行な運動量の関数として分析し、元の絶縁体のトポロジーを引き継ぐ単粒子ハミルトニアンに類似させることで解析を行う。
• 反転対称性を持つ系に対して、反転がエンタングルメントスペクトル上で非ユニタリ演算子として作用することを示し、時間反転対称性がなくてもクラメルス型の簡約性が生じることを示す。
• スミット状態における反転の変換性を導出し、エンタングルメントスペクトルの簡約性がトポロジカル不変量δと過剰粒子数kに依存することを示す。
• ランダウ準位について解析的計算を行い、3次元トポロジカル絶縁体について数値的解析を実施することで、保護されたエンタングルメントモードの出現を確認する。
• 積 (MI)² がスミット状態上で位相因子 (−1)^(δ+k) を与えることを証明し、エンタングルメントスペクトルの簡約性とトポロジカル不変量δの関係を明示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 物理的表面状態が存在しない場合でも、エンタングルメントスペクトルが絶縁体のトポロジカル秩序を検出可能か？
• RQ2 反転対称性はエンタングルメントスペクトルにどのように現れ、保護されたエンタングルメントモードを生じるか？
• RQ3 トポロジカル絶縁体において、エンタングルメントモードと物理的エッジ状態の対応関係は常に成立するか？
• RQ4 反転対称性が存在する場合、粒子・ホール対称性はエンタングルメントスペクトルにどのような役割を果たすか？
• RQ5 エンタングルメントスペクトルは、相互作用系におけるトポロジカルに異なる位相を区別できるか？

主な発見

• トポロジカル表面状態を有する絶縁体は、必然的にエンタングルメントスペクトルに保護されたモードを示す。これは、バルクトポロジーとエンタングルメント構造との直接的な関連を確認するものである。
• 逆は成り立たない：物理的表面状態が存在しない絶縁体においても、保護されたエンタングルメントモードが存在しうる。特に、反転対称性のみを有する系において顕著に現れる。
• 反転対称性がエンタングルメントスペクトル上で非ユニタリ演算子として作用し、クラメルス型の簡約性を生じさせることで、エンタングルメントモードが保護される。
• この対称性作用のおかげで、物理的系にエッジモードが存在しないにもかかわらず、エンタングルメントスペクトルはギャップレスのままである。
• エンタングルメントスペクトルの簡約性構造は、トポロジカル不変量δと過剰粒子数kに依存し、(MI)² が位相因子 (−1)^(δ+k) を与える。
• これらのエンタングルメントに基づくトポロジカル不変量は、相互作用の導入に対してもロバストである。これは、非相互作用モデルを越えて、エンタングルメントとトポロジーの間により深い関係が存在することを示唆している。