[論文レビュー] Bands of pure a.c. spectrum for lattice Schr{\"o}dinger operators with a more general long range condition. Part I

Sylvain Golénia, Marc-Adrien Mandich|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2021

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 24被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、共役作用素法とMourre理論を用いて、ℓ²(ℤ^d) 上の離散シュレーディンガー作用素に対して一般化された長距離ポテンシャル条件の下で限界吸収原理（LAP）を確立する。標準的およびMolchanov-Vainbergラプラシアンの両方について、次元 d = 1, 2, 3 において、純粋な絶対連続（a.c.）スペクトルを持つスペクトルバンドの存在を証明する。これは各座標方向にポテンシャルをκ単位分ずらしたときの減衰条件を含む。κ の小さい値（例：κ = 1, 2, 4, 6, 8）に対して明示的なバンドを特定している。

ABSTRACT

Commutator methods are applied to get limiting absorption principles for the discrete standard and Molchanov-Vainberg Schr\"odinger operators $H_{\mathrm{std}}= \Delta+V$ and $H_{\mathrm{MV}} = D+V$ on $\ell^2(\mathbb{Z}^d)$, with emphasis on $d=1,2,3$. Considered are electric potentials $V$ satisfying a long range condition of the type: $V- au_j ^{\kappa}V$ decays appropriately for some $\kappa \in \mathbb{N}$ and all $1 \leq j \leq d$, where $ au_j ^{\kappa} V$ is the potential shifted by $\kappa$ units on the $j^{ ext{th}}$ coordinate. More comprehensive results are obtained for specific small values of $\kappa$, such as $\kappa =1,2,3,4$. In this article, we work in a simplified framework in which the main takeaway appears to be the existence of bands where a limiting absorption principle holds, and hence absolutely continuous (a.c.) spectrum, for $\kappa>1$ and $\Delta$ (resp.\ $\kappa>2$ and $D$). Other decay conditions for $V$ arise from an isomorphism between $\Delta$ and $D$ in dimension 2. Oscillating potentials are natural examples in application.

研究の動機と目的

• 標準的減衰仮定を超えたより一般な長距離ポテンシャル条件の下で、ℓ²(ℤ^d) 上の離散シュレーディンガー作用素への限界吸収原理（LAP）の拡張を図ること。
• 標準ラプラシアン ∆ および Molchanov-Vainberg ラプラシアン D に対して、次元 d = 1, 2, 3 において、純粋な絶対連続（a.c.）スペクトルを持つスペクトルバンドの存在を確立すること。
• 長距離条件におけるシフトパラメータ κ の増大が、純粋なa.c.スペクトルを持つバンドのサイズおよび位置に与える影響を分析すること。
• 次元 d = 2 における標準ラプラシアン ∆ と Molchanov-Vainberg ラプラシアン D の間の同型写像を調査し、両作用素間での結果の移行を可能にすること。
• 厳密なMourre推定式が成り立つスペクトルバンドの存在を、厳密な証明と数値的証拠を用いて示し、特異連続スペクトルの不在を示すこと。

提案手法

• 離散シュレーディンガー作用素 H = ∆ + V および H = D + V に対して、共役作用素法とMourre理論を適用し、限界吸収原理（LAP）を導出する。
• 各座標 j に対して、差分 (V − τ^κ_j V) が無限遠で O(g(|n|)) に減衰するという一般化された長距離条件を導入する。ここで g は無限遠で消える径数関数である。
• 各座標方向のシフト τ^κ_j を用いて定義される共役作用素 A^κ を用いてMourre推定式を構成し、特にスペクトル領域の特定の部分で [H, iA^κ] の正定値性が成り立つことが鍵となる。
• 比のテストと中央バンドテストを用いて、次元 d = 2 および d = 3 におけるさまざまな κ 値（例：κ = 4, 6, 8）に対して厳密なMourre推定式の成立を検証する。
• 次元 d = 2 における標準ラプラシアン ∆ と Molchanov-Vainberg ラプラシアン D の間の同型写像を活用し、一方の作用素から得られた結果を他方へ移行する。
• 数値的証拠と閉形式の式（例：sin²(π/κ) を含む）の予想を用いて、Mourre推定式が成り立つスペクトルバンドを特定する。特に d = 2 および d = 3 における D に対して有効である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散シュレーディンガー作用素 H = D + V に対して、一般化された長距離ポテンシャル条件 V − τ^κ_j V = O(g(|n|)) を満たすとき、どのスペクトルエネルギーで厳密なMourre推定式が成り立つか。
• RQ2 長距離条件におけるシフトパラメータ κ の増大が、純粋なa.c.スペクトルを持つバンドのサイズおよび位置に与える影響は何か。
• RQ3 次元 d = 2 における ∆ と D の間の同型写像が、両ラプラシアン間でのスペクトル的結果の移行に果たす役割は何か。
• RQ4 一般化された長距離条件の下で、Molchanov-Vainberg ラプラシアン D に対して次元 d = 2 および d = 3 で限界吸収原理が確立可能か。
• RQ5 D（および ∆）のスペクトルにおいて、Mourre推定式が成り立つ明示的なスペクトルバンドは何か。また、κ の小さい値に対しては、これらを閉形式で記述可能か。

主な発見

• 次元 d = 1 における標準ラプラシアン ∆ に対して、区間 (−d, d) ∵ {−d + 2l : l = 0, ..., d} において厳密なMourre推定式が成り立つ。これは、基本ケース（κ = 1, g(|n|) = |n|^−ε）の下で、この集合上で純粋なa.c.スペクトルが存在することを示唆する。
• 次元 d = 2 におけるMolchanov-Vainbergラプラシアン D に対して、(0, 1) 内に複数のバンドでMourre推定式が成り立つ。κ = 4 の場合、(0, 0.5) ∪ (0.707, 1) が該当し、κ = 6 の場合、(0, 0.25) ∪ (0.506, 0.75) ∪ (0.866, 1) となる。
• 次元 d = 3 において、D に対して κ = 8 のとき、(0, 0.0560) ∪ (0.7187, 0.7886) ∪ (0.9238, 1) でMourre推定式が成り立つ。κ がより大きい値のときも同様のバンドが現れる。
• 次元 d = 2 における D に対して、κ = 10 のときのスペクトルバンドは (0, 0.0955) ∪ (0.3103, 0.3455) ∪ (0.5878, 0.6545) ∪ (0.8126, 0.9045) ∪ (0.9511, 1) であり、κ が大きくなるにつれてバンドの断片化が顕著になる。
• D に対して次元 d = 3 において、κ = (2,2,1), (2,2,3), (2,2,5) のとき、Mourre推定式が成り立たないことが数値的証拠により示され、スペクトルバンドが κ の選び方に敏感に依存することを示している。
• 次元 d = 2 における D に対して、κ = 12 のときのスペクトルバンドは (0, 0.0670) ∪ (0.7071, 0.7500) ∪ (0.8687, 0.9330) ∪ (0.9659, 1) であり、κ = 18 のときには (0, 0.0302) ∪ (0.8660, 0.8830) ∪ (0.9410, 0.9698) ∪ (0.9848, 1) となる。κ が増大するにつれて、バンドは (0,1) 全体に収束することが示唆される。