[論文レビュー] Bandwidth theorem for sparse graphs

Hao Huang, Choongbum Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2010

Limits and Structures in Graph Theory被引用数 9

ひとこと要約

本稿はスパースなランダムグラフへの帯域幅定理の拡張を示し、最小次数 $(1 - 1/r + \gamma)np$ を持つ稠密なランダムグラフが、帯域幅が有界な任意の $r$-彩色可能グラフ $H_0$ を含むことを証明している。ここで $H_0$ が二部グラフであるか、非二部の場合には頂点の近傍が独立であると仮定する。このようにして、このようなグラフにおける $H_0$ の頂点を互いに共有しないコピーの数に対して漸近的にタイトな境界を確立している。

ABSTRACT

A graph $G$ is said to have extit{bandwidth} at most $b$, if there exists a labeling of the vertices by $1,2,..., n$, so that $|i - j| \leq b$ whenever $\{i,j\}$ is an edge of $G$. Recently, Bottcher, Schacht, and Taraz verified a conjecture of Bollobas and Komlos which says that for every positive $r,\Delta,\gamma$, there exists $\beta$ such that if $H$ is an $n$-vertex $r$-chromatic graph with maximum degree at most $\Delta$ which has bandwidth at most $\beta n$, then any graph $G$ on $n$ vertices with minimum degree at least $(1 - 1/r + \gamma)n$ contains a copy of $H$ for large enough $n$. In this paper, we extend this theorem to dense random graphs. For bipartite $H$, this answers an open question of Bottcher, Kohayakawa, and Taraz. It appears that for non-bipartite $H$ the direct extension is not possible, and one needs in addition that some vertices of $H$ have independent neighborhoods. We also obtain an asymptotically tight bound for the maximum number of vertex disjoint copies of a fixed $r$-chromatic graph $H_0$ which one can find in a spanning subgraph of $G(n,p)$ with minimum degree $(1-1/r + \gamma)np$.

研究の動機と目的

• 稠密グラフにおける帯域幅定理をスパースなランダムグラフ、特に $G(n,p)$ に拡張すること。
• 稠密なランダムグラフにおける有界帯域幅を持つ二部グラフの包含に関する未解決問題を解明すること。
• 非二部グラフがスパースなランダムグラフに埋め込まれるための必要構造的条件（例えば、独立な近傍）を同定すること。
• 最小次数が $(1 - 1/r + \gamma)np$ である $G(n,p)$ のスパニング部分グラフにおける固定された $r$-彩色可能グラフ $H_0$ の頂点を互いに共有しないコピーの数の漸近的にタイトな最大値を特定すること。

提案手法

• 元の帯域幅定理で用いられる正則性法およびブロー・アップ補題の技術をランダムグラフの文脈に適応すること。
• 確率論的手法を用いて、$H$ が $G(n,p)$ に有界帯域幅でラベル付き埋め込み可能であることを分析すること。
• 帯域幅の概念を用いて $H$ の頂点のラベル付けを制御し、隣接する頂点が位置的に近くなるようにすることで、構造的な埋め込みを可能にすること。
• ランダムグラフのスパarsity を補うために、非二部グラフにおける独立近傍に関する条件を導入すること。
• 極値的グラフ理論とランダムグラフ理論を用いて、$H_0$ の頂点を互いに共有しないコピーの数に対するタイトな境界を導出すること。
• 最小次数の条件と帯域幅の制約を組み合わせることで、スパースなランダムグラフにおける埋め込みの可能性を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 帯域幅定理は、特に二部グラフについて、スパースなランダムグラフ $G(n,p)$ に拡張可能か？
• RQ2 有界帯域幅を持つ非二部グラフがスパースなランダムグラフに埋め込まれるためには、どのような追加の構造的条件が必要か？
• RQ3 最小次数が $(1 - 1/r + \gamma)np$ である $G(n,p)$ のスパニング部分グラフにおける固定された $r$-彩色可能グラフ $H_0$ の頂点を互いに共有しないコピーの最大数は何か？
• RQ4 このようなグラフにおいて、$H_0$ の頂点を互いに共有しないコピーの数に対する境界は漸近的にタイトか？

主な発見

• 二部グラフ $H$ で帯域幅が $\beta n$ 以下である場合、十分に大きな $n$ に対して、最小次数が $(1 - 1/r + \gamma)np$ である任意の稠密なランダムグラフが $H$ のコピーを含む。これは未解決問題を確認するものである。
• 非二部グラフ $H$ の場合、ある頂点が独立な近傍を持つことが埋め込みの可能性に必要であることが示され、帯域幅以上の構造的条件が必須であることが判明した。
• 最小次数が $(1 - 1/r + \gamma)np$ である $G(n,p)$ のスパニング部分グラフにおける固定された $r$-彩色可能グラフ $H_0$ の頂点を互いに共有しないコピーの最大数は、漸近的にタイトである。
• 頂点を互いに共有しないコピーの数に対する境界は理論的最大値と一致しており、ランダムグラフの文脈においてタイト性が確立された。
• 結果として、適切な構造的制約の下で、元の帯域幅定理がスパースなランダムグラフに一般化された。