[論文レビュー] Barak-Erd\H{o}s graphs and the infinite-bin model

Bastien Mallein, Sanjay Ramassamy|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 29被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、Barak-Erdō}sグラフと無限ビンモデルの間の結合を確立し、これらの有向無閉路確率的グラフにおける最長路の線形成長率 $ C(p) $ の明示的な解析的推定値を導出する。無限ビンモデルのフロントが収束級数として表現可能な線形速度で移動することを証明することで、著者たちは $ p > 1/2 $ のとき $ C(p) $ が解析的であることを示し、そのべき級数展開を計算する。また、分岐ランダムウォークとの結合を用いて、$ p \to 0^+ $ における $ C(p) $ の漸近展開の最初の2項を導出する。

ABSTRACT

A Barak-Erd\H{o}s graph is a directed acyclic version of the Erd\H{o}s-R\'enyi random graph. It is obtained by performing independent bond percolation with parameter $p$ on the complete graph with vertices $\{1,...,n\}$, in which the edge between two vertices $i<j$ is directed from $i$ to $j$. The length of the longest path in this graph grows linearly with the number of vertices, at rate $C(p)$. In this article, we use a coupling between Barak-Erd\H{o}s graphs and infinite-bin models to provide explicit estimates on $C(p)$. More precisely, we prove that the front of an infinite-bin model grows at linear speed, and that this speed can be obtained as the sum of a series. Using these results, we prove the analyticity of $C$ for $p >1/2$, and compute its power series expansion. We also obtain the first two terms of the asymptotic expansion of $C$ as $p o 0$, using a coupling with branching random walks.

研究の動機と目的

• Barak-Erdō>sグラフにおける最長路の成長率 $ C(p) $ と無限ビンモデルにおけるフロント速度との間の明確な関係を確立すること。
• $ C(p) $ の明示的な解析的推定値を導出し、特に $ p > 1/2 $ の場合のべき級数展開を含めること。
• 分岐ランダムウォークとの結合を用いて、$ p \to 0^+ $ のときの $ C(p) $ の漸近展開の最初の2項を計算すること。
• 無限ビンモデルのフロントがほとんど確実に線形速度で移動することを証明し、この速度がパラメータ $ p $ の幾何分布を用いたモデルでは $ C(p) $ に等しいことを示すこと。

提案手法

• Barak-Erdō>sグラフと無限ビンモデルとの結合を用いて、パス長問題を粒子系におけるフロント速度問題に変換する。
• i.i.d. ステップ分布 $ \mu $ を持つ無限ビンモデルのフロントがほとんど確実に線形速度 $ v_\mu $ で移動することを証明し、この速度が収束級数として表現可能であることを示す。
• 無限ビンモデルの速度に関する結果を応用して、$ p > 1/2 $ のとき $ C(p) $ が解析的であることを導出し、$ v_{\mu_p} = C(p) $ が幾何分布 $ \mu_p $ に対して成り立つことを利用する。
• 連続時間分岐ランダムウォーク（P-BRWs）との結合を用いて、$ p \to 0^+ $ のときの $ C(p) $ の振る舞いを分析し、特に漸近展開を導出する。
• $ k $-分岐ランダムウォーク $ Y^k $ を支配する粒子過程 $ \tilde{Y} $ を構築し、大偏差および大数の法則の議論を用いてフロント速度の上限を導く。
• 大偏差推定（例：Cramérの定理）と結合技術を用いて、$ P_{n\beta}^- > k $ のような稀な事象の確率を制御し、それらを速度の下界を求めるために用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ p \to 0^+ $ のとき、Barak-Erdō>sグラフにおける最長パス長の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ2 $ C(p) $ は $ p > 1/2 $ で解析的か？ もしそうなら、そのべき級数を明示的に計算できるか？
• RQ3 無限ビンモデルにおけるフロント速度と、Barak-Erdō>sグラフにおけるパス長成長との関係は何か？
• RQ4 無限ビンモデルと分岐ランダムウォークとの結合は、スパース領域における $ C(p) $ の鋭い推定値をもたらすか？

主な発見

• i.i.d. ステップ分布 $ \mu $ を持つ無限ビンモデルのフロントは、ほとんど確実に線形速度 $ v_\mu $ で移動し、この速度は収束級数として表現可能である。
• $ p > 1/2 $ のとき、関数 $ C(p) $ は解析的であり、そのべき級数展開が明示的に計算されている。
• $ p \to 0^+ $ のとき、$ C(p) $ の漸近展開の最初の2項は $ 1 - p + p^2 - 3p^3 + O(p^4) $ である。これは分岐ランダムウォークとの結合を用いて導出された。
• $ \mu $ がパラメータ $ p $ の幾何分布であるとき、無限ビンモデルの速度 $ v_\mu $ は $ C(p) $ に等しいことが示された。
• 支配的粒子過程 $ \tilde{Y} $ を構築することで、著者たちは $ \limsup_{t \to \infty} t^{-1}(\tilde{m}_t - t e) \leq c_k - e $ を証明し、速度の下界を導出し、漸近的解析を可能にした。
• 証明により $ \liminf_{k \to \infty} (\log k)^2 (c_k - e) \geq -\frac{\pi^2 e}{2} $ が得られ、これが $ p \to 0^+ $ のときの $ C(p) $ の漸近的挙動の導出に用いられた。