[論文レビュー] Barcodes and area-preserving homeomorphisms

Frédéric Le Roux, Sobhan Seyfaddini+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2018

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ひとこと要約

この論文は、滑らかでない微分同相写像を超えて、面への面積保存ホメオモルフィズムに対する連続的力学的不変量としてバーコードを導入する。ハミルトニアンフローリエ理論を滑らかでない微分同相写像へ拡張する。レ・カレブの横断的ファイブレーションとバーコード理論を組み合わせることで、固定点の重複度付き数が、広いクラスのハミルトニアンホメオモルフィズムに対して弱い同型不変量であることを証明し、C0シンプレクティック力学における重要な問題を解決する。

ABSTRACT

In this paper we use the theory of barcodes as a new tool for studying dynamics of area-preserving homeomorphisms. We will show that the barcode of a Hamiltonian diffeomorphism of a surface depends continuously on the diffeomorphism, and furthermore define barcodes for Hamiltonian homeomorphisms. Our main dynamical application concerns the notion of {\it weak conjugacy}, an equivalence relation which arises naturally in connection to $C^0$ continuous conjugacy invariants of Hamiltonian homeomorphisms. We show that for a large class of Hamiltonian homeomorphisms with a finite number of fixed points, the number of fixed points, counted with multiplicity, is a weak conjugacy invariant. The proof relies, in addition to the theory of barcodes, on techniques from surface dynamics such as Le Calvez's theory of transverse foliations. In our exposition of barcodes and persistence modules, we present a proof of the Isometry Theorem which incorporates Barannikov's theory of simple Morse complexes.

研究の動機と目的

• 従来のシンプレクティックトポロジーで用いられてきたバーコード理論を、古典的フローリエホモロジーが定義されない面積保存ホメオモルフィズムへ拡張すること。
• 一様収束におけるバーコードの連続性を確立し、非滑らか力学系における不変量としての利用を可能にすること。
• 固定点の重複度付き数が、有限個の固定点を持つハミルトニアンホメオモルフィズムにおいて弱い同型写像に関して不変であることを証明すること。
• 局所的力学と横断的ファイブレーションを用いて、面積保存ホメオモルフィズムの固定点の滑らか化可能性を調査すること。
• 任意の微分同相写像に弱い同型でないハミルトニアンホメオモルフィズムの例を構成し、弱い同型写像の厳密性を示すこと。

提案手法

• 一様収束におけるバーコードの連続性を用いて、ハミルトニアン微分同相写像からの極限過程により、ハミルトニアンホメオモルフィズムに対するバーコードを定義する。
• バランニコフの単純モース複体理論を応用し、バーコードの等長定理を証明し、フィルター付きフローリエホモロジーと関連付ける。
• レ・カレブの横断的ファイブレーション理論を用いて、面積保存ホメオモルフィズムの固定点近傍の局所的力学を分析する。
• 固定点の局所的回転集合を、近傍の補集合のプライムエンドコンパクト化上の力学と関連付ける。
• アニュラス的補集合の普遍被覆への上に上げることで回転数を解析し、固定点のインデックスを同定する。
• 商の補題とプライムエンド理論を用いて、普遍被覆上の力学を円周境界上の力学に結びつけ、円周力学の道具を用いることを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的フローリエホモロジーが定義されないハミルトニアンホメオモルフィズムに対し、バーコードを拡張できるか？
• RQ2 ハミルトニアンホメオモルフィズムのバーコードは一様位相に関して連続か？
• RQ3 ハミルトニアンホメオモルフィズムにおいて、固定点の重複度付き数は弱い同型写像に関して不変か？
• RQ4 任意の微分同相写像に弱い同型でないハミルトニアンホメオモルフィズムが存在するか？
• RQ5 面積保存ホメオモルフィズムの固定点が滑らかにできるための条件は何か？

主な発見

• ハミルトニアン微分同相写像のバーコードは、一様位相において写像に連続的に依存する。
• 一様収束におけるバーコードの連続性を用いた極限過程により、ハミルトニアンホメオモルフィズムに対してもバーコードが適切に定義され、C0設定におけるフローリエ理論的不変量が拡張される。
• 有限個の固定点を持つハミルトニアンホメオモルフィズムにおいて、固定点の重複度付き総数は弱い同型不変量である。
• インデックス1の固定点で局所的回転集合が自明な場合、プライムエンド力学により、その固定点は確定的でない（吸引的でも反発的でもない）ことが示される。
• 任意の微分同相写像に弱い同型でないハミルトニアンホメオモルフィズムが存在することが確立され、弱い同型写像が微分同相写像への同型写像よりも厳密に弱いかどうかが示される。
• インデックス1の固定点は、その局所的回転集合が自明であることと、勾配的力学を持つ横断的ファイブレーションが存在することと同値であり、そのとき滑らかにできる。