[論文レビュー] Barenblatt solutions and asymptotic behaviour for a nonlinear fractional heat equation of porous medium type

Juan Luís Vázquez|arXiv (Cornell University)|May 29, 2012

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 34被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、分数ラプラシアンを含む非線形分数マスドリル方程式に対して、基本解（Barenblatt解と呼ばれる）の存在、一意性、自己相似構造を確立する。これらの解が、有限質量を有する一般の非負弱解の長時間漸近的挙動を支配することを示し、パラメータ $ N $, $ m $, および $ s $ に従う次元スケーリング則に従って、自己相似的プロファイルへの収束を示している。

ABSTRACT

We establish the existence and uniqueness of fundamental solutions for the fractional porous medium equation introduced in \cite{PQRV1}. They are self-similar functions of the form $u(x,t)= t^{-α} f(|x|\,t^{-β})$ with suitable $α$ and $β$. As a main application of this construction, we prove that the asymptotic behaviour of general solutions is represented by such special solutions. Among other interesting qualitative properties of the equation we prove an Aleksandrov reflection principle.

研究の動機と目的

• 分数マスドリル方程式における非局所拡散を伴う基本解の存在と一意性を確立すること。
• パラメータ $ N $, $ m $, および $ s $ を用いて $ \alpha $ と $ \beta $ を含むスケーリング則を通じて、これらの解の自己相似構造を特徴づけること。
• 有限質量を有する一般の非負弱解が $ t \to \infty $ の際にBarenblattプロファイルに漸近的に収束することを証明すること。
• 急速拡散領域 $ m_c < m < m_1 $ における非常に特異な解（VSS）を構成し、その性質を分析すること。ここで $ m_1 = N/(N+2s) $ である。
• 標準的なマスドリル方程式（PME）における古典的結果を、特に対称性および減衰性の観点から、分数的設定に拡張すること。

提案手法

• 次元解析から得られる $ \alpha $ と $ \beta $ を用いて、自己相似的アンザッツ $ u(x,t) = t^{-\alpha} f(|x| t^{-\beta}) $ を用いて基本解を構成する。
• 特にデルタ関数初期条件を用いた測度データに対する弱解理論を用い、Radon測度の意味で解を定義する。
• 分数ラプラシアン作用素 $ (-\Delta)^s $ を、そのフーリエ乗数 $ |\xi|^{2s} $ を用いて定義し、非局所拡散のモデル化を可能にする。
• compactly supported 初期データを用いた近似技術を用い、基本解を極限として構成する。
• アレクサンドロフの反転原理を適用し、プロファイル関数 $ f(r) $ の対称性および単調性を証明する。
• ベッセル核理論およびベッセル関数の漸近的解析を用いて、減衰推定および無限遠における挙動を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数マスドリル方程式に対して、$ m > m_c = \max\{(N-2s)/N, 0\} $ の場合に基本解が存在し、それが一意であるか。
• RQ2 有限質量を有する一般の非負解が $ t \to \infty $ の際にどのように漸近的に振る舞い、Barenblattプロファイルに収束するか。
• RQ3 非常に特異な解（VSS）が存在する $ m $ の範囲は何か。また、標準PMEにおける古典的VSSとはどのように異なるか。
• RQ4 アレクサンドロフの反転原理は分数拡散設定に拡張可能か。また、それがどのような対称性の性質を示すか。
• RQ5 Barenblattプロファイル $ f(r) $ の $ r \to \infty $ における正確な減衰率は何か。また、$ N $, $ s $, および $ m $ にどのように依存するか。

主な発見

• 基本解はすべての $ m > m_c = \max\{(N-2s)/N, 0\} $ に対して存在し、一意的であり、自己相似的形 $ u_M^*(x,t) = t^{-\alpha} f(|x| t^{-\beta}) $ をとる。ここで $ \alpha = \frac{N}{N(m-1)+2s} $, $ \beta = \frac{1}{N(m-1)+2s} $ である。
• プロファイル関数 $ f(r) $ は有界で、正であり、$ [0, \infty) $ 上で連続かつHölder連続であり、$ r \to \infty $ のとき $ f(r) \to 0 $ となる。
• 有限質量を有する一般の非負弱解は $ t \to \infty $ の際にBarenblatt解 $ u_M^* $ に漸近的に収束する。これにより、Barenblattプロファイルがこのクラスにおける吸引子であることが確立される。
• 非常に特異な解は、正確に $ m_c < m < m_1 $ の範囲、ここで $ m_1 = N/(N+2s) $ において存在し、原点での特異性を有する変数分離形をとる。
• Barenblattプロファイルの減衰率は、$ r \to \infty $ のとき $ f(r) \sim r^{-(N+2s)} $ を満たし、これは古典的PMEのコンパクトな台を持つ解よりも遅い。
• アレクサンドロフの反転原理が方程式に対して成立し、プロファイル $ f(r) $ が原点に関して回転対称で、径方向に単調減少であり、単調性および正値性が保たれることを示唆する。