[論文レビュー] Barnes multiple zeta-functions, Ramanujan's formula, and relevant series involving hyperbolic functions

Yasushi Komori, Kohji Matsumoto+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2010

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ひとこと要約

本稿では、Barnes多重ゼータ関数の関数方程式を確立し、双曲線関数を含む級数に関するラマヌジャンの公式の一般化版を導出する。ベルヌーイ多項式および単位根と関連付けることで、sinhおよびcothの項を含む無限級数に対する新しい評価式を証明し、$\rho = (-1 + \sqrt{-3})/2$ のような複素周期を含む新しい恒等式を導出し、カウチ、メリン、ラマヌジャンの古典的結果を拡張する。

ABSTRACT

In the former part of this paper, we give functional equations for Barnes multiple zeta-functions and consider some relevant results. In particular, we show that Ramanujan's classical formula for the Riemann zeta values can be derived from functional equations for Barnes zeta-functions. In the latter half part, we generalize some evaluation formulas of certain series involving hyperbolic functions in terms of Bernoulli polynomials. The original formulas were classically given by Cauchy, Mellin, Ramanujan, and later recovered and formulated by Berndt. From our consideration, we give multiple versions of these known formulas.

研究の動機と目的

• Barnes多重ゼータ関数の関数方程式を導出し、それらを双曲線関数を含む古典的級数と関連付ける。
• 二重ゼータ関数の場合に、$\zeta(2N+1)$ に対するラマヌジャンの公式が、これらの関数方程式から導かれることが示される。
• ベルヌーイ多項式を用いた既知の双曲線級数の評価式を、多重ゼータ関数の枠組みに一般化する。
• パラメータ $y \in [0,1]$ を用いた明示的な評価式を確立し、それらが古典的結果を統合・拡張する。
• 単位根 $\rho$ を用いた $\sinh(m\pi i/\rho)^{-2}$ および $\coth(m\pi i/\rho)^2$ の恒等式を回復・一般化する。

提案手法

• ガンマ関数による $x^{-s}$ の積分表現と線形積分を用いて、Barnes多重ゼータ関数の関数方程式を導出する。
• 原点を囲む重要な contour $C(\theta)$ を用いて、$e^{\omega_j t} - 1$ および $t^{s-1}$ を含む contour 積分で Barnes ゼータ関数を表現する。
• パラメータ $y$ を $a(y_1,\dots,y_n) = \sum \omega_j(1 - y_j)$ を用いて導入し、$\cos(2m\pi y)$ 要素を含む一般化された級数を生成する。
• 関数方程式を特定のケースに適用する：$n=2$ ではラマヌジャン型の公式、$n=3$ では立方根の単位根、$n>3$ では高次元の恒等式。
• 単位根 $\eta = e^{\pi i/n}$ の性質を用いて、得られる級数内の三角関数および双曲線関数の式を簡略化する。
• 関数方程式の係数を一致させ、ベルヌーイ多項式の恒等式を用いて明示的な評価式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Barnes多重ゼータ関数の関数方程式から、$\zeta(2N+1)$ に対するラマヌジャンの公式を導出できるか？
• RQ2 双曲線関数 $\sinh(m\pi)$ および $\coth(m\pi)$ を含む古典的級数は、Barnes ゼータ関数とベルヌーイ多項式を用いてどのように一般化できるか？
• RQ3 $\rho = e^{2\pi i/3}$ のような複素パラメータを含む高次元多重ゼータ関数に拡張した場合、どのような新しい評価式が得られるか？
• RQ4 単位根 $\rho$ を用いた $\sinh(m\pi i/\rho)^{-2}$ および $\coth(m\pi i/\rho)^2$ の恒等式は、関数方程式から体系的に導出可能か？
• RQ5 単位根は、$\pi^{2k}$ の有理数倍を含む新しい双曲線級数の族を生成する役割を果たすか？

主な発見

• 二重ケースにおける Barnes ゼータ関数の関数方程式は、特別な場合としてラマヌジャンの公式 (1.5) を得る。これは、その公式がゼータ関数論の由来であることを確認する。
• $n=2$ の場合、一般式 (6.10) は $y=1/2$ のとき (1.2) および $y=0$ のとき (1.4) を回復する。これは、同一の枠組み内で統一されていることを示す。
• $n=3$ の場合、式 (6.12) は $\rho = e^{2\pi i/3}$ に対して、$\sum_{m \neq 0} \frac{\coth(m\pi i/\rho)^2}{m^4} = \frac{62}{2835}\pi^4$ および $\sum_{m \neq 0} \frac{1}{\sinh(m\pi i/\rho)^2 m^4} = -\frac{1}{2835}\pi^4$ といった新しい恒等式を導く。
• この手法により、$\sum \frac{\coth(m\pi i/\rho)^2}{m^{10}} = \frac{40247}{1915538625}\pi^{10}$ のような高次元の類似式が得られ、古典的結果を体系的に超える拡張が可能であることを示す。
• $n=4$ および $n=5$ の場合、$\sum \frac{(-1)^m}{\sinh(m\pi)\sinh(m\pi i\zeta_8)\sinh(m\pi i\zeta_8^{-1})m^5} = \frac{1}{37800}\pi^5$ のような恒等式が得られ、高次単位根を含む。
• 一般式 (5.1) 及びその特殊化 (6.4) は、すべてのこのような級数、Euler多項式や余弦因子を含むものも含めて、統一的なメカニズムを提供する。これは、Remark 6.6 で示されている。