[論文レビュー] Barnich-Troessaert Bracket as a Dirac Bracket on the Covariant Phase Space

Wolfgang Wieland|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2021

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 55被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、一般相対性理論における光的無限遠点での可積分な電荷を定義するために用いられるBarnich–Troessaert（BT）括弧が、放射度自由度を第二種制約によって除去した縮小されたコベariant位相空間上でのDirac括弧として自然に生じることを提案する。放射データを補助的背景場とみなすことにより、得られる位相空間は重力的端モードのみを記述し、BT括弧はDirac括弧として現れ、さらに未来の光的無限遠点への電荷のシフトを実現するフラックス積分が加わることで、可積分性と代数の閉包性が保証される。

ABSTRACT

The Barnich--Troessaert bracket is a proposal for a modified Poisson bracket on the covariant phase space for general relativity. The new bracket allows us to compute charges, which are otherwise not integrable. Yet there is a catch. There is a clear prescription for how to evaluate the new bracket for any such charge, but little is known how to extend the bracket to the entire phase space. This is a problem, because not every gravitational observable is also a charge. In this paper, we propose such an extension. The basic idea is to remove the radiative data from the covariant phase space. This requires second-class constraints. Given a few basic assumptions, we show that the resulting Dirac bracket on the constraint surface is nothing but the BT bracket. A heuristic argument is given to show that the resulting constraint surface can only contain gravitational edge modes.

研究の動機と目的

• 放射自由度による共変位相空間上でのBMSスーパートランスレーション電荷の非可積分性を解消すること。
• Barnich–Troessaert括弧の背後にある位相空間構造を明確にすること。これは、全位相空間上の標準的でないPoisson括弧ではない。
• BT括弧が、放射データがc数に固定された縮小位相空間上のDirac括弧として理解できることを示すこと。
• 得られる位相空間が重力的端モードのみを記述し、BT括弧がそれらのシンプレクティック構造を捉えていること。

提案手法

• 放射データを第二種制約を用いて共変位相空間から除去し、効果的にそれらを背景のc数場に置き換える。
• 制約付き系にDirac括弧形式を適用し、縮小位相空間上での新たなシンプレクティック構造を導出する。
• 予シンプレクティック2形式ΩMと放射シンプレクティックカレントJradを用いて、フラックス積分Fξ[M→M+]を定義し、電荷が光の生成子に沿ってシフトすることを実現する。
• 得られるDirac括弧が、I+の断面C上でBT括弧をフラックス補正項を除いて再現することを示す。
• フラックス積分がDirac括弧と可換であることを示し、代数の一貫性を保証すること。これは、フラックス積分が放射モードにのみ依存するからである。
• 縮小位相空間が重力的端モード（Coulombモード）の位相空間と同型であり、シンプレクティック構造がDirac手続きから引き継がれることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BT括弧が元来電荷の定義に限られていたが、どのようにして全共変位相空間へ一貫的に拡張できるか？
• RQ2 BT括弧が非退化なシンプレクティック形式を定義する背後にある位相空間構造は何か？
• RQ3 一般のDirac可観測量はBT括弧においてどのように可換するか？また、縮小位相空間上でのそれらの力学的挙動は何か？
• RQ4 BT括弧は、第二種制約を伴う標準的ハミルトニアン制約系から導出可能か？
• RQ5 放射データを除去した後に得られる位相空間の物理的解釈は何か？

主な発見

• Barnich–Troessaert括弧が、放射データが第二種制約によって除去された縮小位相空間上でのDirac括弧に等価であることが示された。
• 得られる位相空間は放射自由度を一切含まず、重力的端モードのみを記述する。
• Dirac括弧は、I+の断面C上でBT括弧をフラックス積分による補正を除いて再現する。
• フラックス積分F[ξ,ξ′][M→M+]は放射モードにのみ依存し、Dirac括弧と可換であるため、代数の一貫性が保証される。
• 縮小位相空間上の電荷Q+ξは、{Q+ξ, Q+ξ′}* = −Q+[ξ,ξ′]の交換関係を満たし、BMS代数の可積分性と閉包性が確認された。
• 縮小位相空間上のシンプレクティック構造は、BT括弧にフラックスシフトを加えるか、またはDirac括弧を用いることで得られ、両者は同等の記述を提供する。