[論文レビュー] Baroclinic Instability and Transitions in a Two-Layer Quasigeostrophic Channel Model

Ming Cai, Marcos Hernández+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2017

Climate variability and models参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、2層準地転圧チャネルモデルにおける非線形安定性および動的遷移の厳密な数学的理論を構築し、フロイド数が $(\gamma^2 + 1)/2$ を超えるとストロベリック不安定性が生じることを示している。遷移の性質—連続的かジャンプ的か—は動的遷移数 $b$ の符号によって決まる。$b > 0$ の場合、系は連続的な空間時間的振動を示す。$b < 0$ の場合、複雑な遠方パターンと不安定な周期的解を伴うジャンプ遷移を経る。

ABSTRACT

The main objective of this article is to derive a mathematical theory associated with the nonlinear stability and dynamic transitions of the basic shear flows associated with baroclinic instability, which plays a fundamental role in the dominant mechanism shaping the cyclones and anticyclones that dominate weather in mid-latitudes, as well as the mesoscale eddies that play various roles in oceanic dynamics and the transport of tracers. This article provides a general transition and stability theory for the two-layer quasi-geostrophic model originally derived by Pedlosky \cite{ped1970}. We show that the instability and dynamic transition of the basic shear flow occur only when the Froude number $F&gt;(γ^2+1)/2$, where $γ$ is the weave number of lowest zonal harmonic. In this case, we derive a precise critical shear velocity $U_c$ and a dynamic transition number $b$, and we show that the dynamic transition and associated flo0w patterns are dictated by the sign of this transition number. In particular, we show that for $b&gt;0$, the system undergoes a continuous transition, leading to spatiotemporal flow oscillatory patterns as the shear velocity $U$ crosses $U_c$; for $b&lt;0$, the system undergoes a jump transition, leading to drastic change and more complex transition patterns in the far field, and to unstable period solutions for $U

研究の動機と目的

• 2層準地転圧チャネルモデル内におけるストロベリックシアー流の非線形安定性および動的遷移の包括的な数学的理論を確立すること。
• 特にフロイド数と東西波数 $\gamma$ の役割に注目し、ストロベリック不安定性が発生する臨界条件を特定すること。
• 導出された遷移数 $b$ の符号に基づき、動的遷移を連続的、ジャンプ的、または混合的タイプに分類すること。
• 特に $\gamma = 1$ の場合に、実際のAtmosphericおよび海洋的条件下で、どの遷移モードが好まわれるかを特定すること。
• 動的遷移理論を用いて、ストロベリック不安定性の発生に伴う流れのパターンと安定性行動を完全に特徴付けること。

提案手法

• 次元なし変数を用いて2層準地転圧モデルを定式化し、基本的シアー流からの分岐を解析するための動的遷移理論を適用する。
• 線形安定性解析と固有値分解に基づき、フロイド数 $F$ と波数 $\gamma$ の関数として臨界シアー速度 $U_c$ と動的遷移数 $b$ を導出する。
• 無限次元系を有限次元中心多様体に還元するため、射影作用素 $P_c$ と $P_{c, +}$ を用いる。これにより非線形相互作用の解析が可能になる。
• 複素変数技術を用いて速度成分と固有モードを表現し、ギンツブルグ＝ランダウ型還元における非線形項のコンパクトな表現を可能にする。
• 非線形項の中心多様体への射影を、$\mu^+_{k,l} + \eta_{k,l}$ および $\mu^+_{k,l} - \mu^-_{k,l}$ に関する恒等式を用いて計算し、遷移数の明示的表現を導出する。
• 実部と虚部を用いて遷移数 $b$ を評価し、符号に基づく遷移タイプの分類を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2層準地転圧モデルにおいて、ストロベリック不安定性が発生する条件は何か。特にフロイド数 $F$ がその発生にどのように影響するか。
• RQ2 東西波数 $\gamma$ は、不安定性閾値付近の動的遷移の性質—連続的かジャンプ的か—にどのように影響するか。
• RQ3 動的遷移数 $b$ の符号は何かによって決まり、それが遷移後の系の挙動をどのように規定するか。
• RQ4 なぜ $\gamma = 1$ の場合が特別であり、モデルが示唆するように常に連続的遷移に至るのか。
• RQ5 $b > 0$ および $b < 0$ の場合に得られる空間時間的流れのパターンは何か。それらは構造的および安定性的側面でどのように異なるか。

主な発見

• ストロベリック不安定性および動的遷移は、フロイド数が $F > (\gamma^2 + 1)/2$ を満たす場合にのみ発生し、不安定性発生の閾値を定義する。
• 臨界シアー速度 $U_c$ が導出され、これは $F$ と $\gamma$ に依存して、系が安定な流れから不安定な流れに遷移する境界を示す。
• 動的遷移数 $b$ が遷移タイプを決定する。$b > 0$ の場合、系は空間時間的振動パターンへの連続的遷移を経る。
• $b < 0$ の場合、系はジャンプ遷移を示し、流れの構造に急激な変化を伴い、$U < U_c$ では不安定な周期的解が生じる。
• $\gamma = 1$ の場合、遷移数 $b$ は常に正であるため、空間時間的振動への連続的遷移が不安定性の優位なモードであると示唆される。
• 非線形射影解析により、$\gamma$、$k$、$l$、$U$、$F$、および固有値の関数としての遷移数の明示的表現が得られ、遷移ダイナミクスの完全な分類が可能になる。