[論文レビュー] Barriers for Rank Methods in Arithmetic Complexity

Klim Efremenko, Ankit Garg+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 42被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、算術的複雑度におけるランク法の、条件なしの境界を初めて確立し、3次元テンソルの超線形のテンソルランク下界や、次数dの多項式の超多項式のWaringランク下界を証明できないことを示している。著者らは行列多項式の記号的ランク解析を用いて、ランク法が本質的にΩ_d(n^{⌊d/2⌋})の境界に限定されることを示し、それらが顕著な進展にもかかわらず、既知の線形および多項式境界で止まっている理由を説明している。

ABSTRACT

Arithmetic complexity is considered simpler to understand than Boolean complexity, namely computing Boolean functions via logical gates. And indeed, we seem to have significantly more lower bound techniques and results in arithmetic complexity than in Boolean complexity. Despite many successes and rapid progress, however, challenges like proving super-polynomial lower bounds on circuit or formula size for explicit polynomials, or super-linear lower bounds on explicit 3-dimensional tensors, remain elusive. At the same time, we have plenty more "barrier results" for failing to prove basic lower bounds in Boolean complexity than in arithmetic complexity. Finding barriers to arithmetic lower bound techniques seem harder, and despite some attempts we have no excuses of similar quality for these failures in arithmetic complexity. This paper aims to add to this study. We address rank methods, which were long recognized as encompassing and abstracting almost all known arithmetic lower bounds to-date, including the most recent impressive successes. Rank methods (or flattenings) are also in wide use in algebraic geometry for proving tensor rank and symmetric tensor rank lower bounds. Our main results are barriers to these methods. In particular, 1. Rank methods cannot prove better than $Ω_d (n^{\lfloor d/2 floor})$ lower bound on the tensor rank of any $d$-dimensional tensor of side $n$. (In particular, they cannot prove super-linear, indeed even $>8n$ tensor rank lower bounds for any 3-dimensional tensors.) 2. Rank methods cannot prove $Ω_d (n^{\lfloor d/2 floor})$ on the Waring rank of any $n$-variate polynomial of degree $d$. (In particular, they cannot prove such lower bounds on stronger models, including depth-3 circuits.)

研究の動機と目的

• ランク法—算術的複雑度における主要な手法クラス—の制限を特定・形式化し、より強い下界を達成できないことを証明すること。
• ランク法が、近年の下界結果における広範な使用と成功にもかかわらず、テンソルランクおよびWaringランクにおいて既知の境界を超えることができなかった理由を説明すること。
• ブール的複雑度におけるより推測的または条件付きの境界とは対照的に、算術的複雑度におけるランク法に対して形式的かつ条件なしの境界結果を提供すること。
• ランク法を拡張または一般化できるかどうかを検討し、これらの手法の範囲外の新たな研究方向を提示すること。
• ランク法と代数幾何学的手法（特にフラットネイングおよび対称的テンソルランクの文脈）との間の関係を形式化すること。

提案手法

• 行列多項式の記号的ランクを分析し、そのエントリが多変数線形または同次多項式である場合に、評価値のランクを制限する。
• 線形代数的技法を用いて、行列多項式の記号的ランクと特定の点におけるその評価のランクとの関係を確立する。
• 対称多項式の空間から行列への線形写像Lの観点からランク法を定式化し、像空間のランクを制限することを目的とする。
• このような枠組みに基づくいかなるランク法も、テンソルランクおよびWaringランクに対してΩ_d(n^{⌊d/2⌋})の下界に限定されることを確立する。
• 既知の同次多項式の分解定理を活用して、行列多項式の同次ランクを制限し、タイトネスの結果を導出する。
• これらの技法を適用して、ランク法が3次元テンソル（例：8nを超えない）や深さ3の回路に対して既知の境界を超えることができないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランク法は、3次元テンソルのテンソルランクに対して超線形の下界を証明できるか？
• RQ2 次数dの多変数同次多項式のWaringランクに対して、ランク法が達成できる最大の下界は何か？
• RQ3 解析で用いられる分解定理はタイトか、それらを改善することでより強い境界を得られるか？
• RQ4 記号的ランクフレームワークを非線形または低次の写像Lに拡張することで、これらの境界を乗り越えることができるか？
• RQ5 ランク法と代数幾何学的フラットネイング技法との間の関係をどの程度形式化し、活用できるか？

主な発見

• 任意のd次元テンソル（辺の長さがn）のテンソルランクに対して、ランク法はΩ_d(n^{⌊d/2⌋})の下界を超えることはできない。
• 特に、ランク法は3次元テンソルのテンソルランクに対して超線形、あるいは8nを超える下界を証明できない。
• ランク法は、n変数の次数dの同次多項式のWaringランクに対してΩ_d(n^{⌊d/2⌋})の下界を証明できない。
• ランク法が達成する下界は、ランダムな多項式の真の複雑さから大きく離れており、それらは超多項式の式サイズ下界を示すことが知られている。
• 行列多項式の記号的ランクは、ランク法の制限をタイトに特徴づけるものであり、その解析は多項式評価の線形代数的性質に依存する。
• 本稿は、解析で用いられる分解がほぼタイトであると予想しており、同次ランクが任意のε>0に対して(d+1−ε)rに近づく可能性があると示唆しており、境界がほぼ最適であると考えられる。