[論文レビュー] Barriers in Nonlinear Control Systems with Mixed Constraints

Willem Esterhuizen, Jean Lévine|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2015

Optimization and Variational Analysis被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非線形制御系におけるバリアの概念を、状態と制御の両方に依存する混合状態・入力制約に拡張する。バリアが、カールシュ＝クーン＝タッカー（KKT）乗数と一般化勾配条件を含む最小化に類似した原理によって構築可能であることを証明する。主な貢献は、混合制約下でのバリア構築に向けた修正された最小化原理であり、非滑らか設定における双対性に基づく最大原理と摂動錐解析によって検証されている。

ABSTRACT

In this paper, we propose an extension to mixed multidimensional constraints of the problem of state and input constrained control introduced in DeDona and Lévine, SIAM J. Control and Optimiz., Vol. 51, 2013, where the admissible set, namely the subset of the state space where the state and input constraints can be satisfied for all times, was studied, with focus on its boundary. The latter may be divided in two parts, one of them being called barrier, a semipermeable surface. We extend this notion of barrier to the mixed case and prove that it can be constructed via a minimum-like principle involving the Karush-Kühn-Tucker multipliers associated to the constraints and a generalised gradient condition at its endpoints.

研究の動機と目的

• 純粋な状態制約および入力制約から、状態変数と制御変数の両方を含む混合制約へのバリア面の概念を拡張すること。
• 特に、許容領域の境界を定義する役割と、半透過性を示す幾何学的・解析的性質を含め、混合制約下でのバリアの性質を確立すること。
• 測定可能制御および非滑らかダイナミクスに起因する不連続性を考慮した、混合制約下でのバリア構築に向けた最小化に類似した原理を導出すること。
• 針状摂動と摂動錐構成を用いて、[7]の最大原理を混合制約の場合に一般化し、極値条件が双対化ハミルトニアン上で成立することを導出すること。

提案手法

• 制御系を微分方程式と測定可能制御を用いて定式化し、制約関数 $ g_i(x(t), u(t)) \leq 0 $ がほとんど everywhere で成り立つように保証する。
• 測定可能制御に起因する制約の進化における不連続性を扱うために、非滑らか解析の道具を適用し、特にバリアの端点における一般化勾配条件を明示する。
• 直感的な $ g_i(x,u) = 0 $ を置き換えるために、$ \tilde{g}(x) = \min_{u \in U} \max_i g_i(x,u) = 0 $ という修正された端点条件を導入し、バリアの開始点を定義する。
• 針状変種を用いて接線摂動錐を構築し、変分方程式とKKT条件を用いて随伴ベクトル $ \eta^{\bar{u}} $ と乗数ベクトル $ \mu^{\bar{u}} $ を導出する。
• 双対性の議論を用いて、バリアがその端点で到達可能集合の境界に対して正規であることを示し、随伴ベクトルが分離超平面の法線をなすことを確認する。
• [16]の最大原理を混合制約に適応するため、制約を満たす可能な針状摂動を構成し、双対化ハミルトニアン上での極値条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 状態変数と制御変数の両方を含む混合制約に、バリアの概念をどのように一般化できるか。
• RQ2 混合制約下でのバリアの端点の正しい特徴づけは何か。これは純粋制約の場合とどのように異なるか。
• RQ3 混合制約下でも最小化に類似した原理を用いてバリアを構築できるか。その場合、状態と制御の両方に依存する性質をどのように修正する必要があるか。
• RQ4 特に制約構造を尊重する摂動錐を構成する場合、最大原理はどのように混合制約設定に適応できるか。
• RQ5 カールシュ＝クーン＝タッカー（KKT）乗数と一般化勾配は、バリアの幾何学的性質と構築法において果たす役割は何か。

主な発見

• 混合制約下でのバリアは、$ \tilde{g}(x) = \min_{u \in U} \max_i g_i(x,u) = 0 $ という条件と、端点における追加の一般化勾配条件によって特徴づけられ、直感的な $ g_i(x,u) = 0 $ に置き換えられる。
• バリアは半透過性を満たす：許容領域内から出発する軌道は不許容領域に侵入できず、不許容領域内から出発する軌道も許容領域に侵入できない。
• 最小化に類似した原理がバリア構築を支配する。この原理では、KKT乗数と制約関数の一般化勾配を含む関数を最小化する。
• 混合制約下での最大原理は双対性の議論によって確立され、随伴ベクトル $ \eta^{\bar{u}} $ と乗数ベクトル $ \mu^{\bar{u}} $ はハミルトニアンの最大化条件をほとんど everywhere で満たす。
• 針状変種を用いて制約構造を尊重する摂動錐が構築され、随伴ベクトルに垂直な超平面によって到達可能状態と非到達可能状態が分離可能である。
• 双対化ハミルトニアン $ \mathcal{H}(x,u,\eta,\mu) = \eta^T f(x,u) + \sum_i \mu_i g_i(x,u) $ は、極値軌道に沿ってほとんど everywhere で一定であり、バリアの最適性構造を裏付ける。