[論文レビュー] Barvinok's Rational Functions: Algorithms and Applications to Optimization, Statistics, and Algebra

Yoshida, Ruriko|ArXiv.org|Jun 15, 2004

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 53被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、バーヴィノクの有理関数を用いたアルゴリズムを提示し、有理凸多面体内の格子点を効率的に数え上げ、混合整数計画問題を解くことを目的としている。生成関数を短い有理関数として符号化することで、固定次元においてトーリックイデアル、グレブナー基底、エーリヒト系列、整数計画法における最適解の多項式時間計算が可能となり、LattEソフトウェアスイートによる実験的検証がなされた。

ABSTRACT

The main theme of this dissertation is the study of the lattice points in a rational convex polyhedron and their encoding in terms of Barvinok's short rational functions. The first part of this thesis looks into theoretical applications of these rational functions to Optimization, Statistics, and Computational Algebra. The main theorem on Chapter 2 concerns the computation of the \emph{toric ideal} $I_A$ of an integral $n imes d$ matrix $A$. We encode the binomials belonging to the toric ideal $I_A$ associated with $A$ using Barvinok's rational functions. If we fix $d$ and $n$, this representation allows us to compute a universal Gröbner basis and the reduced Gröbner basis of the ideal $I_A$, with respect to any term order, in polynomial time. We derive a polynomial time algorithm for normal form computations which replaces in this new encoding the usual reductions of the division algorithm. Chapter 3 presents three ways to use Barvinok's rational functions to solve Integer Programs. The second part of the thesis is experimental and consists mainly of the software package { t LattE}, the first implementation of Barvinok's algorithm. We report on experiments with families of well-known rational polytopes: multiway contingency tables, knapsack type problems, and rational polygons. We also developed a new algorithm, {\em the homogenized Barvinok's algorithm} to compute the generating function for a rational polytope. We showed that it runs in polynomial time in fixed dimension. With the homogenized Barvinok's algorithm, we obtained new combinatorial formulas: the generating function for the number of $5 imes 5$ magic squares and the generating function for the number of $3 imes 3 imes 3 imes 3$ magic cubes as rational functions.

研究の動機と目的

• バーヴィノクの有理関数符号化を用いて、有理凸多面体内の格子点を効率的に数えるためのアルゴリズムを開発すること。
• 固定次元において、有理関数を用いてトーリックイデアルとそのグレブナー基底を計算し、多項式時間の複雑さを達成すること。
• これらの手法を混合整数計画問題、統計（例：連鎖表）、代数幾何学的問題に応用すること。
• LattEソフトウェアシステムにこれらのアルゴリズムを実装し、実用的性能とスケーラビリティを評価すること。
• エーリヒト系列、多面体上の最適化、整数計画法の正確な解法を提供する計算フレームワークを構築すること。

提案手法

• バーヴィノクの分解を用いて、単体的錐への分解により、多面体内の格子点の生成関数を短い有理関数として表現する。
• 錐の符号付き分解を用いて、エーリヒト系列および数え上げ関数を符号化する有理関数を表現する。
• ホモジニアライズド・バーヴィノクアルゴリズムおよびBBS（基底における二分探索）アルゴリズムを実装し、格子点の数え上げと多面体上での最適化を実行する。
• 掘削アルゴリズムを用いて、有理関数表現を反復的に用いて実行可能解を改善することで、混合整数計画問題を解く。
• LattEにおけるコンピュータ代数システムおよびC++実装を活用し、エーリヒト多項式、生成関数、最適値を計算する。
• 有理関数のテイラー展開を用いて、スケーリング下での格子点数に対応する係数を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定次元において、バーヴィノクの有理関数を用いて、整数行列 $ A $ に対応するトーリックイデアル $ I_A $ のユニバーサルグレブナー基底を多項式時間で計算できるか？
• RQ2 有理関数符号化と錐分解を用いた場合、有理多面体内の格子点の数え上げはどの程度効率的に実行できるか？
• RQ3 BBSおよび掘削アルゴリズムは、従来の手法と比較して、混合整数計画問題の解法においてどの程度の性能を示すか？
• RQ4 完全な簡略化が高コストである場合でも、有理関数表現により多面体のエーリヒト系列を正確に計算できるか？
• RQ5 有理関数符号化により、ナップサック多面体および輸送多面体における正確な最適化をどの程度可能にするか？

主な発見

• 固定された $ n $ および $ d $ に対して、$ n \times d $ 整数行列 $ A $ に対応するトーリックイデアル $ I_A $ は、バーヴィノクの有理関数を用いて符号化可能であり、これによりそのユニバーサルおよび削減グレブナー基底の多項式時間計算が可能となる。
• LattEは、$ 4 \times 4 $ マジック・スクエア多面体のエーリヒト系列を $ \frac{t^8 + 4t^7 + 18t^6 + 36t^5 + 50t^4 + 36t^3 + 18t^2 + 4t + 1}{(-1+t)^4(-1+t^2)^4} $ として正しく計算した。この係数は $ t^{15} $ まで既知の数え上げと一致した。
• 24-cellには正確に33個の格子点があり、そのうち内点は1つだけである。標準的およびホモジニアライズド・バーヴィノクアルゴリズムの両方で同様に計算された。
• ナップサック問題「cuww1」の最適解は、掘削アルゴリズムにより $ (7334, 0, 0, 0, 0) $ で、最適値は1,562,142であった。BBSアルゴリズムでも確認された。
• BBSアルゴリズムは最適値を計算するために26回の反復と125,562個の単体的錐を必要とし、計算コストが高かったものの、スケーラビリティを示した。
• メモリ効率の良いテイラー展開モードにより、15項までのエーリヒト系列が2秒未塔で計算可能となり、過去の結果と整合性があることが確認された。