[論文レビュー] Base-$b$ analogues of classic combinatorial objects

Tanay Wakhare, Christophe Vignat|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、桁ごとの積を用いて定義される新しい基数$b$の二項係数を用いて、古典的な組合せ論的対象—第二種スターリング数、フィボナッチ数、指数関数—の基数$b$版を導入する。繰り上がりのないインデックス上での一般化された和公式を確立し、これにより古典的な結果を一般化する新しい恒等式や類似物が得られる。特に、漸近的性質および畳み込み性質を有する基数$b$指数関数が導入される。

ABSTRACT

We study the properties of the base-$b$ binomial coefficient defined by Jiu and the second author, introduced in the context of a digital binomial theorem. After introducing a general summation formula, we derive base-$b$ analogues of the Stirling numbers of the second kind, the Fibonacci numbers and the classical exponential function.

研究の動機と目的

• 第二種スターリング数、フィボナッチ数、指数関数などの古典的組合せ論的対象の基数$b$版を構築すること。
• 桁ごとの二項係数$\binom{n}{k}_b$を用いて、任意の基数$b$におけるデジタル二項定理を一般化すること。
• 繰り上がりのないインデックス$k \leq_b n$上での一般化された和公式を確立し、これにより$\binom{n}{k}_b$を含む和に関する先行研究を統合・拡張すること。
• 畳み込み恒等式および漸近的近似を有する、$e_b(x,w)$という基数$b$指数関数を定義・分析すること。

提案手法

• 基数$b$の二項係数を$\binom{n}{k}_b = \prod_{i=0}^{N-1} \binom{n_i}{k_i}$として定義する。ここで$n_i, k_i$は、$n, k$を基数$b$で表したときの各桁の数である。
• 一般化された和公式を導入する：$\prod_{i=0}^{N-1} S(n_i) = \sum_{0 \leq k \leq_b n} \prod_{i=0}^{N-1} f(n_i, k_i)$。これは繰り上がりのない$k$に対して有効である。
• 和公式を応用して、母関数を用いて第二種スターリング数の基数$b$版を導出する。
• 桁ごとの演算を含む再帰的関係に和公式を適用し、基数$b$フィボナッチ類似物を構築する。
• 基数$b$指数関数を$e_b(x,w) = \prod_{i=0}^\infty \sum_{k=0}^{b-1} \frac{(x w^{b^i})^k}{k!}$として定義する。正確な形を得るため、上不完全ガンマ関数を用いる。
• 畳み込み恒等式$e_b(x,w) \star e_b(y,w) = e_b(x+y,w)$を証明する。ここで$\star$は桁ごとの優位性制約$k \leq_b n$を課す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第二種スターリング数やフィボナッチ数といった古典的組合せ論的対象は、どのように基数$b$の桁ごとの構造へ一般化できるか？
• RQ2 基数$b$の二項定理の構造は何か？ そして、古典的およびデジタル二項定理をどのように拡張するか？
• RQ3 指数関数の基数$b$版を定義することは可能か？ その解析的および代数的性質は何か？
• RQ4 繰り上がりのないインデックス上での和公式は、どのようにして既存の桁ごとの組合せ論の結果を統合・拡張するか？
• RQ5 $w$が小さい場合の基数$b$指数関数の漸近的挙動は何か？

主な発見

• 基数$b$二項係数$\binom{n}{k}_b = \prod_{i=0}^{N-1} \binom{n_i}{k_i}$は、一般化された二項定理を満たす：$(X+Y)^{s_b(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}_b X^{s_b(k)} Y^{s_b(n-k)}$。
• 一般化された和公式を用いて、第二種スターリング数の基数$b$版が導出され、古典的母関数恒等式が拡張される。
• 和公式を再帰的関係に適用することで、基数$b$フィボナッチ数列が定義され、桁ごとの演算下でも再帰的性質が保存される。
• 基数$b$指数関数は$e_b(x,w) = \exp\left(x \sum_{i=0}^\infty w^{b^i}\right) \prod_{i=0}^\infty \frac{\Gamma(b, x w^{b^i})}{(b-1)!}$として与えられ、$w$が小さい場合の漸近的近似は$e_b(x,w) \simeq e^{xw + xw^b}$である。
• 畳み込み恒等式$e_b(x,w) \star e_b(y,w) = e_b(x+y,w)$が成り立ち、ここで$\star$は桁ごとの優位性制約$k \leq_b n$を課す。これは$e^x e^y = e^{x+y}$を一般化する。
• 恒等式$\binom{n}{k}_b \neq \frac{(n!)_b}{(k!)_b (n-k)!_b}$が確認され、繰り上がりのない制約のため、基数$b$階乗が古典的二項係数恒等式を満たさないことが示される。