[論文レビュー] Base point free theorem of Reid-Fukuda type

Osamu Fujino|ArXiv.org|Mar 8, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、dlt 対 $(X, \nabla)$ 上のネフなカーティエ除集合 $L$ に対して、$aL - (K_X + \nabla)$ がネフかつ対数的ビッグであるような $a > 0$ が存在するとき、十分大きな $m$ に対して $|mL|$ が基点自由であることを示す、基本点自由定理の証明を行う。証明は対数的解体、消失定理、境界除集合の層の制限による次元に関する帰納法を用いる。

ABSTRACT

Let $(X,Δ)$ be a proper dlt pair and $L$ a nef Cartier divisor such that $aL-(K_X+Δ)$ is nef and log big on $(X,Δ)$ for some $a\in {\mathbb Z}_{>0}$. Then $|mL|$ is base point free for every $m\gg 0$.

研究の動機と目的

• dlt 対 $(X, \nabla)$ に対して、対数的最小モデルプログラムに依存しない Reid-Fukuda 型の基本点自由定理を確立すること。
• Fukuda の結果を滑らかでかつ3次元の場合に限らない一般次元および dlt 特異点へ一般化すること。
• ある $aL - (K_X + \nabla)$ がネフかつ対数的ビッグであるという条件下で、$m \gg 0$ のとき $|mL|$ が基点自由であることを証明すること。
• 境界の層の上での対数的解体とコホモロジー的技法を用いた消失定理的アプローチを提供すること。

提案手法

• dlt 対 $(X, \nabla)$ の対数的解体 $f: Y \to X$ を構成し、$f$ が対数的特異点の中心上で同型となるようにする。
• ここで $E = \sum \lceil a_i \rceil E_i$ および $F = f^{-1}_*\nabla + E - \sum a_i E_i$ を定義し、$K_Y + F = f^*(K_X + \nabla) + E$ が成り立つようにする。
• 補題 1.5 を用いて、$m \geq a$ のとき $H^1(Y, \mathcal{O}_Y(mM + E - S_0))$ の消失を確立する。ここで $M = f^*L$ であり、$S_0$ は $\lfloor \nabla \rfloor$ の成分の厳密逆像である。
• 短完全系列 $0 \to \mathcal{O}_Y(-S_0) \to \mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_{S_0} \to 0$ から得られる長完全系列を用い、$H^0(X, \mathcal{O}_X(mL)) \to H^0(S, \mathcal{O}_S(mL))$ の上への性質を示す。
• 次元に関する帰納法を用い、$(S, \operatorname{Diff}(\nabla - S))$ が dlt であり、同じ補助条件を満たすことを仮定する。
• 結論として $\operatorname{Bs}|mL| \cap \lfloor \nabla \rfloor = \emptyset$ が得られ、命題 1.4 を適用して $m \gg 0$ のときの基点自由性を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 dlt 対 $(X, \nabla)$ 上のネフなカーティエ除集合 $L$ が、十分大きな $m$ に対して基点自由となる条件は何か？
• RQ2 対数的最小モデルプログラムを用いずに、基本点自由定理を確立することは可能か？
• RQ3 $aL - (K_X + \nabla)$ がネフかつ対数的ビッグであるという条件が、高次コホモロジーの消失とグローバルセクションの上への性質をどのように保証するか？
• RQ4 対数的特異点の構造が、線形系統の基点自由性にどの程度影響を与えるか？
• RQ5 対数的特異点上で、除集合が必ずしもビッグではなく、ただ対数的ビッグである場合に、対数的特異点対の消失定理を拡張することは可能か？

主な発見

• $L$ が $a \in \mathbb{Z}_{>0}$ に対して $aL - (K_X + \nabla)$ がネフかつ対数的ビッグであるような、$X$ が固有な dlt 対 $(X, \nabla)$ 上のネフなカーティエ除集合であれば、すべての $m \gg 0$ に対して $|mL|$ は基点自由である。
• 証明は3次元の場合でさえも、対数的最小モデルプログラムを用いずに、対数的解体とコホモロジー的消失に依存している。
• 鍵となるステップは、対数的解体上の消失を用いて、$\lfloor \nabla \rfloor$ の任意の既約成分 $S$ に対して、$H^0(X, \mathcal{O}_X(mL)) \to H^0(S, \mathcal{O}_S(mL))$ の上への性質を示すことである。
• $aL - (K_X + \nabla)$ の $S$ への制限は、$(S, \operatorname{Diff}(\nabla - S))$ 上でネフかつ対数的ビッグのままであるため、次元に関する帰納法が可能である。
• $m \gg 0$ のとき $|mL|$ の基点集合は $\lfloor \nabla \rfloor$ と交わらない。この事実と命題 1.4 を組み合わせることで、基点自由性が導かれる。
• 本結果は、Fukuda が滑らかでかつ3次元の場合に得た定理を、一般次元および dlt 特異点へ拡張したものである。