[論文レビュー] Basic concepts of ternary Hopf algebras

A. Borowiec, Wiesław A. Dudek+1 more|ArXiv.org|Jun 12, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、圏論における矢印反転法を用いて、二項ホップ代数構造を三項演算へ一般化することで、三項ホップ代数の基礎的枠組みを導入する。三項余乗法、双代数、ホップ代数が複数のタイプを有することを確立しており、3種類の余結合的型、3種類の余単位型、2種類の反対元型を特定している。三項ホップ代数は、自己同型および線形写像を介して二項ホップ代数から導出可能であり、群代数および関数代数を用いた明示的例も提示している。

ABSTRACT

The theory of ternary semigroups, groups and algebras is reformulated in the abstract arrow language. Then using the reversing arrow ansatz we define ternary comultiplication, bialgebras and Hopf algebras and investigate their properties. The main property "to be binary derived" is considered in detail. The co-analog of Post theorem is formulated. It is shown that there exist 3 types of ternary coassociativity, 3 types of ternary counits and 2 types of ternary antipodes. Some examples are also presented.

研究の動機と目的

• 圏論的矢印反転を用いて、二項ホップ代数構造を三項演算へ一般化すること。
• 三項余乗法、双代数、ホップ代数を定義・分類し、複数の構造的タイプを特定すること。
• 『二項由来』性質を調査し、三項ホップ代数が自己同型および線形写像を介して二項ホップ代数から構成可能であることを示すこと。
• 群代数および関数代数を用いた具体的な例を提示し、理論を実証すること。

提案手法

• 抽象的矢印記法を用いて、三項半群、群、代数を体系的双対性へ再定式化する。
• 矢印反転の仮定を適用し、乗法の双対として三項余乗法、余単位、反対元を定義する。
• 三種類の異なる三項余乗法を含む余結合的条件を用いて、三項双代数を定義する。
• 導出演算構成を用いて三項構造と二項構造を関連付け、特定の条件下で $ m^{(3)} = m^{(2)} \times \text{id} $ が成り立つことを示す。
• ポストの定理の余双対を確立し、自己同型および商構造を介して三項ホップ代数と二項ホップ代数の関係を結ぶ。
• 群代数 $ k(G) $ および関数代数 $ \mathcal{F}(G) $ を用いて例を構成し、適切な余乗法および反対元の定義のもとで両者とも三項双代数およびホップ代数であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二項代数的構造から双対性および矢印反転を用いて、三項ホップ代数を体系的に定義する方法は何か？
• RQ2 三項ホップ代数における余結合的型、余単位型、反対元型の異なるタイプは何か？それらは二項の場合とどのように異なるか？
• RQ3 すべての三項ホップ代数は二項ホップ代数から導出可能か？その場合、どのような条件下で成立するか？
• RQ4 群代数および関数代数から構成された三項ホップ代数の構造的性質は何か？
• RQ5 ポストの定理の余双対は、三項ホップ代数と二項ホップ代数の関係にどのように適用されるか？

主な発見

• 三項余結合的型は、三項テンソル積における余乗法の配置の違いに起因し、正確に3種類存在する。
• 三種類の三項余単位が存在し、それぞれが余乗法構造における余単位写像の異なる位置に対応する。
• 二種類の三項反対元が特定され、三項設定における異なる対称性および双対性の性質を反映している。
• 三項ホップ代数構造は、自己同型 $ \phi $ および線形写像 $ \lambda $ を用いて二項ホップ代数から導出可能であり、$ \Delta^{(3)} = (\text{id} \otimes \phi \otimes \text{id}) \circ (\Delta^{(2)} \otimes \text{id}) $ を満たす。
• ポストの定理の余双対が成立する：任意の三項ホップ代数 $ (H, \Delta^{(3)}) $ に対して、二項ホップ代数 $ (H^*, \Delta^{(2)}) $ が存在し、$ H/H^* \simeq k(\mathbb{Z}_2) $ かつ $ (\text{id} \otimes \text{id} \otimes \text{id}) \circ \Delta^{(3)} = (\text{id} \otimes \Delta^{(2)}) \circ \Delta^{(2)} $ が成り立つ。
• 例では、群代数 $ k(G) $ および関数代数 $ \mathcal{F}(G) $ が、結合的三項積と整合性のある三項余乗法を備え、三項双代数および適切な反対元の定義のもとで三項ホップ代数であることが示された。