[論文レビュー] Basic functional properties of certain scale of rearrangement-invariant spaces

Hana Turčinová|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2020

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 26被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、|f|^α の最大非増加再配列に関する非線形汎関数を用いて定義される、再配列不変空間の新クラス $X\langle\alpha\rangle$ を導入し、体系的に研究する。主な貢献は、$X$ が古典的ローレンツ空間 $\Lambda_q(w)$ である場合の $X\langle\alpha\rangle$ の双対空間の完全な特徴付けであり、$q$ と $-\alpha$ のすべてのパrameter 範囲において双対空間の明示的ノルム公式を提供する。結果として、鋭い埋め込み関係が確立され、ルベーグ空間とジグムンド空間を結ぶ新しい1パラメータスケールが明らかになる。

ABSTRACT

Let $X$ be a rearrangement-invariant space over a non-atomic $\sigma$-finite measure space $(\mathscr{R},\mu)$ and let $\alpha\in(0,\infty)$. We define the functional \begin{equation*} \|f\|_{X^{\langle \alpha angle}} = \|((|f|^\alpha)^{**})^{\frac{1}{\alpha}}\|_{\overline{X}(0,\mu(\mathscr{R}))}, \end{equation*} in which $f$ is a $\mu$-measurable scalar function defined on $(\mathscr{R},\mu)$ and $\overline{X}(0,\mu(\mathscr{R}))$ is the representation space of $X$. We denote by $X^{\langle \alpha angle}$ the collection of all almost everywhere finite functions $f$ such that $\|f\|_{X^{\langle \alpha angle}}$ is finite. These spaces recently surfaced in connection of optimality of target function spaces in general Sobolev embeddings involving upper Ahlfors regular measures. We present a variety of results on these spaces including their basic functional properties, their relations to customary function spaces and mutual embeddings and, in a particular situation, a characterization of their associate structures. We discover a new one-parameter path of function spaces leading from a Lebesgue space to a Zygmund class and we compare it to the classical one.

研究の動機と目的

• 新しく定義された再配列不変空間のスケール $X\langle\alpha\rangle$（$\alpha \in (0, \infty)$）の基本的関数的性質を調査すること。
• 特別な場合として $X$ が古典的ローレンツ空間 $\Lambda_q(w)$ であるときの $X\langle\alpha\rangle$ の双対空間を特徴付けること。
• $X\langle\alpha\rangle$ の形をした空間同士の鋭い埋め込み関係を確立し、ルベーグ空間やジグムンド空間などの古典的関数空間と関連付けること。
• 双対空間 $(X\langle\alpha\rangle)'$ のノルムを基本関数と重み $w$ の観点から完全かつ明示的に表現する公式を提供すること。

提案手法

• 関数 $\|f\|_{X\langle\alpha\rangle} = \| ((|f|^\alpha)^{**})^{1/\alpha} \|_{X(0, \mu(R))}$ を定義し、$f^*$ は非増加再配列を表す。
• 空間 $X(0, \mu(R))$ を用いて、$X$ の性質を $X\langle\alpha\rangle$ に移す。
• 特に $\Gamma_q(w)$ と $\Lambda_q(w)$ 空間の双対性を活用した、双対汎関数およびノルムの理論を適用する。
• 変数変換と $h^* = (f^*)^{1/\alpha}$ の代入を用いて、双対ノルムを $\Gamma_{q/\alpha}(w)$ と $\Lambda_{1/\alpha}(g^*)$ 間の埋め込み作用素ノルムに関連付ける。
• 特に [23, Theorem 10.3.17] に依拠したローレンツ空間理論の既知の結果を活用し、作用素ノルムを計算し、明示的な双対ノルム公式を導出する。
• パrameter $q \in (0,\infty)$ と $\alpha \in (0,\infty)$ のすべての組み合わせをカバーするように、$q \leq 1$ または $q > 1$ および $\alpha \leq 1$ または $\alpha > 1$ の4つの異なるノルム公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 新しく定義された再配列不変空間 $X\langle\alpha\rangle$ の基本的関数的性質は何か？
• RQ2 空間 $X\langle\alpha\rangle$ は、ルベーグ空間やジグムンド空間などの古典的関数空間とどのように関係しているか？
• RQ3 $X = \Lambda_q(w)$ の場合に、双対空間 $(X\langle\alpha\rangle)'$ の正確な構造は何か？
• RQ4 関数の基本関数と重み $w$ の観点から、$X\langle\alpha\rangle$ の双対ノルムを明示的に計算できるか？
• RQ5 異なる $X\langle\alpha\rangle$ 空間間の埋め込み関係はどのように振る舞い、鋭いか？

主な発見

• パrameter $q$ と $\alpha$ のすべてのケースにおいて、$X = \Lambda_q(w)$ のとき、双対空間 $(X\langle\alpha\rangle)'$ が完全に特徴付けられ、明示的なノルム公式が提供されている。
• $q \in (0,1]$ および $\alpha \in (0,1]$ の場合、双対ノルムは $\|g\|_{(X\langle\alpha\rangle)'} = \sup_{t \in (0,b)} \frac{t g^{**}(t)}{\left( \int_0^t w(s)\,ds + t^{q/\alpha} \int_b^t w(s) s^{-q/\alpha} ds \right)^{1/q}}$ で与えられる。
• $q \in (1,\infty)$ および $\alpha \in (0,1]$ の場合、双対ノルムは $y^{q' - q'/\alpha} g^{**}(y)$ の上限を含む重み付き $L^{q'}$ 型積分と同値である。
• $q \in (0,1]$ および $\alpha \in (1,\infty)$ の場合、双対ノルムは $t g^{**}(t)$ と $\int_t^b g^{**}(s)^{1/\alpha - 1} g^*(s) ds$ を含む上界と同値である。
• $q \in (1,\infty)$ および $\alpha \in (1,\infty)$ の場合、双対ノルムは $t g^{**}(t)$ と $g^{**}(s)^{1/\alpha - 1} g^*(s)$ の尾部積分を含む複雑な表現を持つ重み付き $L^{q'}$ 型積分と同値である。
• 結果として、ルベーグ空間とジグムンド空間を結ぶ新しい1パラメータスケールの関数空間が明らかになった。$\alpha$ が増加するにつれて、$X\langle\alpha\rangle$ は $L^q$ からジグムンドクラスへ滑らかに移行する連続的経路を提供する。