[論文レビュー] Basic polynomial invariants, fundamental representations and the Chern class map

Sanghoon Baek, Erhard Neher+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、等変チャーン類写像を介して、リー理論における基本的表現と基本的多項式不変量の明確な関係を確立し、$S^*(\Lambda)^W$ が $\mathbb{Z}$ 上の $q_i$ における多項式環でないときの障害を測る指数 $\tau_i$ を導入する。$i \leq 4$ の場合、$\tau_i$ はドゥインキン指数と一致することが証明され、非水晶系 $H_2$ の場合に $\tau_2 = \sqrt{5}$ が得られ、これはねじれの境界を $K$-理論およびねじれフラッグ多様体のチャウ群に与える。

ABSTRACT

Consider a crystallographic root system together with its Weyl group $W$ acting on the weight lattice $M$. Let $Z[M]^W$ and $S^*(M)^W$ be the $W$-invariant subrings of the integral group ring $Z[M]$ and the symmetric algebra $S^*(M)$ respectively. A celebrated theorem of Chevalley says that $Z[M]^W$ is a polynomial ring over $Z$ in classes of fundamental representations $w_1,...,w_n$ and $S^*(M)^{W}$ over rational numbers is a polynomial ring in basic polynomial invariants $q_1,...,q_n$, where $n$ is the rank. In the present paper we establish and investigate the relationship between $w_i$'s and $q_i$'s over the integers. As an application we provide an annihilator of the torsion part of the 3rd and the 4th quotients of the Grothendieck gamma-filtration on the variety of Borel subgroups of the associated linear algebraic group.

研究の動機と目的

• Weyl群不変量の文脈において、基本的表現 $\rho_i$ と基本的多項式不変量 $q_i$ の関係を明確化すること。
• $S^*(\Lambda)^W$ が $\mathbb{Z}$ 上の $q_i$ における多項式環でないときの算術的障害を測る指数 $\tau_i$ を定義し、その性質を研究すること。
• この理論を、ねじれフラッグ多様体のグローテンディーク $\gamma$-フィルトレーションおよびチャウ群におけるねじれを境界づける応用に適用すること。
• $H_2$ 根系（非水晶系）に対して $\tau_2$ を計算し、$\sqrt{5}$ を含む幾何的解釈を明らかにすること。

提案手法

• $\mathbb{Z}[\Lambda]$ および $S^*(\Lambda)$ に $I$-adic フィルトレーションを導入し、$I^{i+1}$ で剰余をとった切断の間の同型写像 $\phi_i$ を構成する。
• $\tau_i$ を、$W$-不変部分の $i$-次次数成分の像における係数の最大公約数として定義する。
• 等変チャーン類写像 $\phi_i$ を用いて、フラッグ多様体の $K_0$ と $CH^*$ を関連づけ、表現論と代数幾何学を結びつける。
• リーマン・ロッホ定理および特徴類を用いて、$\gamma$-フィルトレーションの商をチャウ群と関連づけ、ねじれの境界を導出する。
• $H_2$ に対して $\tau_2$ を、基本的ウェイトの $W$-軌道と $\mathbb{Z}[\tau]$ 内の対称不変量を分析することで計算する。
• $\mathbb{Z}[\tau]$ がユークリッド整域であることを利用し、$\gcd(2+\tau, 2\tau-1) = \sqrt{5}$ を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{Z}[\Lambda]$ および $S^*(\Lambda)$ の $W$-不変部分環において、基本的表現 $\rho_i$ と基本的多項式不変量 $q_i$ はどのように関係しているか？
• RQ2 $S^*(\Lambda)^W$ が $\mathbb{Z}$ 上の $q_i$ における多項式環でないときの算術的障害 $\tau_i$ とは何か？
• RQ3 指数 $\tau_i$ は、小さい $i$ に対して、対応するリー代数 $\mathfrak{g}$ のドゥインキン指数と一致するか？
• RQ4 この理論は、$H_2$ のような非水晶系根系へ拡張可能か？
• RQ5 $H_2$ に対して $\tau_2 = \sqrt{5}$ である幾何的またはリー理論的解釈は何か？

主な発見

• $\tau_i$ は、$S^*(\Lambda)^W$ が $\mathbb{Z}$ 上の $q_i$ における多項式環でないときの障害を測る。$\tau_i$ は、写像 $\phi_i$ による像の $i$-次次数成分における係数の最大公約数として与えられる。
• $i \leq 4$ の場合、指数 $\tau_i$ は対応するリー代数 $\mathfrak{g}$ のドゥインキン指数と一致する。
• タイプ $B_n$ ($n \geq 3$) および $D_n$ ($n \geq 4$) のねじれフラッグ多様体 $X$ に対して、$\gamma$-フィルトレーションの商 $\gamma^4({}_{\xi}X)/\gamma^5({}_{\xi}X)$ のねじれは 12 で消える。
• 商写像 $\gamma^4({}_{\xi}X)/\gamma^5({}_{\xi}X) \to \tau^4({}_{\xi}X)/\tau^5({}_{\xi}X)$ が全射であれば、$\mathrm{CH}^4({}_{\xi}X)$ の 2-ねじれは 8 で消える。
• 非水晶系根系 $H_2$ に対して、2番目の指数 $\tau_2$ は $\sqrt{5}$ に等しく、$\mathbb{Z}[\tau]$ 内で $\gcd(2+\tau, 2\tau-1)$ として計算される。ここで $\tau = (1+\sqrt{5})/2$ である。
• 等変チャーン類写像 $\phi_i$ は、切り捨てられた環 $\mathbb{Z}[\Lambda]/I_m^{i+1}$ と $S^*(\Lambda)/I_a^{i+1}$ の間の同型を誘導し、その制限は $K_0$ および $CH^*$ 上の古典的チャーン類写像 $c_i$ を与える。