[論文レビュー] Basic Riemannian Geometry and Sobolev Estimates used in Symplectic Topology

Aleksey Zinger|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、シンプレクティックトポロジーにおける解析的アプローチの基盤をなすリーマン幾何とソボレフ評価を提供する。擬全純曲線上のベクトル束の断面の接続、指数写像、ソボレフノルムに関して一様な境界を確立し、主な結果として、$ar{\nabla}$-作用素と写像の微分を用いたソボレフノルムの均一な制御が得られ、グロモフ・ウィッテン理論におけるコンパクトネスの議論に不可欠である。

ABSTRACT

This note collects a number of standard statements in Riemannian geometry and in Sobolev-space theory that play a prominent role in analytic approaches to symplectic topology. These include relations between connections and complex structures, estimates on exponential-like maps, and dependence of constants in Sobolev and elliptic estimates.

研究の動機と目的

• リーマン幾何とソボレフ理論における標準的結果を体系化し、シンプレクティックトポロジーの解析的アプローチの基盤とすること。
• ほぼ複素多様体への擬全純写像上のベクトル束に対して、接続および$ abla$-作用素の均一な評価を確立すること。
• 断面のソボレフノルムの定量的制御を、$ abla$-作用素、写像の微分、および断面自体の観点から導出すること。
• ベース多様体の幾何学的・位相的性質に依存するソボレフおよび楕円的評価における定数を自立的かつ明示的に提示すること。

提案手法

• 実および複素ベクトル束上の接続を用いて共変微分を定義し、局所的自明化とフレーム依存の接続1形式を通じて$ abla$-作用素と関連付ける。
• 局所的幾何の制御と接空間の構造と束断面との関係を確立するために、ポincareの補題と指数型写像を適用する。
• パラメトリック分割、局所座標近傍、および束断面への重み付きノルムを用いて、リーマン面におけるソボレフおよび楕円的評価を導出する。
• パラメトリック分割と局所的評価を用いて一様な境界を確立し、断面のソボレフノルムが$ abla$-ノルム、写像微分の$L^p$-ノルム、および断面の$L^p$-ノルムによって制御されることを示す。
• 接続$ abla$が複素構造と可換であるという事実を用いて、局所的$ abla$-ノルムとグローバルなソボレフ制御を関連付ける。
• Moser型の議論と再帰的ソボレフ埋め込みを適用し、高次の制御を導出し、$p > 2$における$W^{1,p}$-境界に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬全純写像上の複素ベクトル束の断面に対して、$ abla$-作用素と写像の微分を用いた一様なソボレフ評価をどのように導出できるか？
• RQ2 ソボレフおよび楕円的評価における定数が、リーマン計量やほぼ複素構造などの幾何的データにどのように依存するか？
• RQ3 ほぼ複素多様体上のベクトル束の文脈において、接続と複素構造はどのように相互作用するか？ そして、これにより$ abla$-作用素をどのように制御できるか？
• RQ4 指数写像と平行移動は、ベクトル束の局所的およびグローバルな幾何の関係をどのように確立するか？
• RQ5 写像微分の$L^p$-ノルムと$ abla$-微分の$L^p$-ノルムを用いて、断面の$W^{1,p}$-ノルムをどのように一様に制御できるか？

主な発見

• $p > 2$のとき、コンパクトに台を持つ断面$ heta$について、その$W^{1,p}$-ノルムは、$ abla$-ノルム、$D_u\theta$の$L^p$-ノルム、$ abla^u \theta$の$L^p$-ノルムに依存する定数によって上から抑えられ、これは写像$u$の像がコンパクト部分集合に含まれる場合に一様に成り立つ。
• $p \neq 2$のとき、像がコンパクト部分集合$K$に含まれる写像$u$上の断面$ heta$について、その$W^{1,p}$-ノルムは、$ abla$-ノルム、$D_u\theta$の$L^p$-ノルム、$ heta$の$L^p$-ノルムに依存する定数によって上から抑えられ、この定数は$ abla$-ノルムの連続関数として成り立つ。
• アニュラス$A_2 \triangleleft_\rho A_1$上では、$ abla^u \theta$の$L^p$-ノルムは、$K$、$\rho$、$p$、および$A_1$に依存する定数を係数として、$\norm{D_u\theta}_p$、$\norm{\nabla^u \theta}_2$、$\norm{\theta \times du}_p$の和によって上から抑えられる。
• ソボレフ評価における定数は、擬全純写像の微分の$L^p$-ノルムに連続的に依存しており、小規模な$C^0$-摂動に対しても安定性が保証される。
• 評価はコンパクト部分集合上で一様であり、ベース多様体の幾何学的性質とほぼ複素構造にのみ依存する。
• 局所的自明化、パラメトリック分割、および再帰的ソボレフ埋め込みと楕円的正則性の適用により、$p > 2$におけるグローバルな$W^{1,p}$-制御が得られる。