[論文レビュー] Basic structures of the covariant canonical formalism for fields based on the De Donder--Weyl theory

Igor V. Kanatchikov|ArXiv.org|Oct 31, 1994

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、De Donder--Weyl ハミルトニアン枠組みを用いて、古典場理論の共変的正準形式を構築する。場の空間へのシンプレクティック幾何学の一般化として、次数 $n+1$ の多様体的シンプレクティック形式を導入する。外微分形式の外積代数に、階数付きポアソン括弧を介してゲルステンハーバー代数構造を定義し、運動方程式は DW ハミルトニアンとの括弧で表現される。また、体積形式を介してこの括弧と外微分を結びつける。

ABSTRACT

We discuss a field theoretical extension of the basic structures of classical analytical mechanics within the framework of the De Donder--Weyl (DW) covariant Hamiltonian formulation. The analogue of the symplectic form is argued to be the {\em polysymplectic} form of degree $(n+1)$, where $n$ is the dimension of space-time, which defines a map between multivector fields or, more generally, graded derivation operators on exterior algebra, and forms of various degrees which play a role of dynamical variables. The Schouten-Nijenhuis bracket on multivector fields induces the graded analogue of the Poisson bracket on forms, which turns the exterior algebra of (horizontal) forms to a Gerstenhaber algebra. The equations of motion are written in terms of the Poisson bracket on forms and it is argued that the bracket with $H\vol$, where $H$ is the DW Hamiltonian function and $\vol$ is the horizontal (i.e. space-time) volume form, is related to the operation of exterior differentiation of forms.

研究の動機と目的

• 古典的力学の正準形式を、時空共変性を明示的に保つ形で場理論へ拡張すること。
• 時空共変性を満たすが幾何学的に一貫性のとれたハミルトニアン形式が不足している古典場理論の問題を解決すること。
• シンプレクティック形式の場理論的類似物として、多様体的シンプレクティック構造を導入すること。
• 外微分形式の外積代数に階数付きポアソン括弧を定義し、その代数的構造をゲルステンハーバー代数にすること。
• De Donder--Weyl ハミルトニアン関数とのポアソン括弧を用いて場の運動方程式を定式化し、それを外微分と関連付けること。

提案手法

• 場の配置空間のジャンブルの上に、次数 $n+1$ の多様体的シンプレクティック形式を導入し、力学におけるシンプレクティック形式の一般化を行う。
• 外微分形式の外積代数上で、多重ベクトル場および階数付き微分作用素を動的変数として定義する。
• 多重ベクトル場上のショウテン＝ニーレンハイズ括弧を用いて、外微分形式上に階数付きポアソン括弧を誘導する。
• De Donder--Weyl ハミルトニアン関数 $H$ を構成し、それを水平体積形式 $\vol$ に結合して進化作用素を定義する。
• 運動方程式を $ \{ \alpha, H\vol \} = d\alpha $ の形で表現し、ポアソン括弧と外微分を結びつける。
• 階数付きポアソン括弧を備えた形式の空間が、力学のポアソン代数を一般化したゲルステンハーバー代数をなすことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時空共変性を保ちつつ、古典的力学の正準形式を場理論へどのように一般化できるか？
• RQ2 ハミルトニアン力学におけるシンプレクティック形式の適切な場理論的類似物は何か？
• RQ3 多重ベクトル場上のショウテン＝ニーレンハイズ括弧は、場理論における外微分形式上に一貫性のあるポアソン括弧構造をどのように誘導するか？
• RQ4 運動方程式は、De Donder--Weyl ハミルトニアンを含む括弧演算によってどのように表現されるか？
• RQ5 共変場理論形式において、形式上のポアソン括弧と外微分の幾何学的関係は何か？

主な発見

• 次数 $n+1$ の多様体的シンプレクティック形式は、場理論における共変的正準形式の基本的幾何的構造をなす。
• 水平形式の外積代数は、ショウテン＝ニーレンハイズ括弧によって誘導される階数付きポアソン括弧を通じて、ゲルステンハーバー代数構造を備える。
• 運動方程式は $ \{ \alpha, H\vol \} = d\alpha $ の形で定式化され、ここで $ \alpha $ は形式であり、$ d\alpha $ はその外微分である。
• $ H\vol $ とのポアソン括弧を取る操作が、形式上での外微分に対応することが示された。
• この形式は、幾何学的根拠が一貫した形で、ハミルトニアン力学を古典的場理論へ明示的共変に一般化する。
• この枠組みは、進化作用素を時間発展と空間的変動を両方含む括弧演算として特定することにより、力学と幾何学の役割を統合する。