[論文レビュー] Basic theory of a class of linear functional differential equations with multiplication delay

Cheng-shi Liu|arXiv (Cornell University)|May 22, 2016

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、乗法的遅れを伴う線形パントグラフ方程式の初期値問題を明示的に解くために、指数関数的、コサイン的、サイン的関数という新しい特殊関数を導入する。一般の点における解の存在、一意性、非一意性の条件を確立し、これらの関数に基づく級数展開と直交化技術を用いて形式的解を提示する。

ABSTRACT

By introducing a kind of special functions namely exponent-like function, cosine-like function and sine-like function, we obtain explicitly the basic structures of solutions of initial value problem at the original point for this kind of linear pantograph equations. In particular, we get the complete results on the existence, uniqueness and non-uniqueness of the initial value problems at a general point for the kind of linear pantograph equations.

研究の動機と目的

• 乗法的遅れを伴う線形関数微分方程式、特にパントグラフ方程式に対して、明示的な解構造が不足している問題に対処すること。
• 標準的手法（例：定数変化法、ラプラス変換）がこれらの方程式に対しては機能しないという根本的課題を解決すること。
• 初期点が原点でない場合の初期値問題における解の存在と一意性の挙動を明確にすること。これは、通常の常微分方程式とは異なることがある。
• 解を明示的に表現するための、新規の特殊関数を用いた体系的枠組みを構築すること。
• 境界値問題およびパントグラフ型遅れを伴う偏微分方程式への理論の拡張

提案手法

• 指数関数的、コサイン的、サイン的関数という3つの新しい特殊関数を導入し、無限級数展開によって定義し、線形パントグラフ方程式の解をモデル化する。
• 変数分離法を用いて、時間的および空間的依存性を伴うパントグラフ型偏微分方程式を通常の関数微分方程式に還元する。
• 非直交性を持つサイン的関数 $ S_eta( ho_n x) $ の系を直交化するためにグラム・シュミット法を適用し、級数展開における係数計算を可能にする。
• 直交化された基底関数を用いて、有限および無限領域における熱的および波動的パントグラフ方程式の形式的解を導出する。
• 積分表現を用い、$ E_eta $, $ C_eta $, および $ S_eta $ 関数を含む一般化されたフーリエ型展開を通じて、初期データによる解の表現を確立する。
• 指数関数的関数 $ E_eta $ を用いた形式的フーリエ型およびラプラス型変換を提案するが、逆変換は未解明のままである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期点が原点でない場合、線形パントグラフ方程式の初期値問題が一意解をもつための条件は何か？
• RQ2 乗法的遅れを伴う線形パントグラフ方程式の解は、初等関数や超幾何関数を超える特殊関数で表現可能か？
• RQ3 基底関数が直交でない場合、解の級数展開における係数を体系的に計算する方法は何か？
• RQ4 非局所的遅れを伴う熱的および波動的パントグラフ方程式の解の構造はいかなるものか？
• RQ5 新規の特殊関数を用いて一般化された積分変換を定義可能か？また、その可逆性の性質は何か？

主な発見

• 初期値問題 $ y'(x) = y(eta x) $, $ y(0) = 1 $ の解は指数関数的関数 $ E_eta(x) $ で与えられ、解析的であり、収束するべき級数展開を有する。
• 方程式 $ X''(x) = \beta X(\beta^2 x) $ において $ X(0) = X(1) = 0 $ のとき、固有値は $ \beta_n = -\beta \rho_n^2 $ であり、固有関数は $ X_n(x) = S_\beta(\rho_n x) $ である。ここで $ \rho_n $ は超越方程式の根である。
• 乗法的遅れを伴う熱的パントグラフ方程式 $ u_t = u_{xx} $ の形式的解は、$ u(x,t) = \bigsum_{n=1}^\frown A_n E_\beta(-\beta \rho_n^2 t) S_\beta(\rho_n x) $ で与えられ、係数 $ A_n $ はグラム・シュミット直交化によって計算される。
• 区間 $ (0,1) $ における波動的パントグラフ方程式の解は、$ C_\beta(-\rho_m t) $ および $ S_\beta(-\rho_m t) $ の重ね合わせとして表現され、初期データから直交化された基底関数を用いて係数が導出される。
• 無限区間では、$ S_\beta $ および $ C_\beta $ 関数を含む二重積分で解が与えられ、係数は一般化された積分方程式によって定まる。
• 本稿では、$ E_\beta $ を用いた形式的フーリエ型およびラプラス型変換は定義可能であるが、その逆変換は未解明であると同定している。