[論文レビュー] Basic theory tools for degenerate Fermi gases

Yvan Castin|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2006

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 1被引用数 29

ひとこと要約

本稿は、超低温原子系におけるBCS理論による超流動性の基礎的理論的ツールを開発する。半古典的ウィグナー関数法と断熱近似を用いて、超流動電流を仮定せずに、微視的BCS理論から超流動流体力学的方程式を導出し、線形分散関係に従う集団的音響モードと、状態方程式によって支配される音速を明らかにする。

ABSTRACT

This is an introductory lecture to the theory of degenerate Fermi gases, in the context of present experiments on atomic Fermi gases. In part one, some properties of the ideal Fermi gas are presented, including a discussion of the fluctuations of the number of fermions in a given spatial zone in 1D, 2D and 3D. In part two, two-body aspects of the interaction potential are discussed and several possible models for the interaction are analyzed, including the two-channel model for the Feshbach resonance. In part three, basic predictions of zero temperature BCS theory are presented, including a derivation of superfluid hydrodynamic equations from time dependent BCS theory.

研究の動機と目的

• 縮重フェルミガスを記述する体系的な理論的枠組みを確立すること、特に超流動領域において。
• 超流動電流の形を仮定せずに、微視的BCS理論から超流動流体力学的方程式を導出すること。
• 半古典的近似を用いて、閉じた系および均一系における集団モードを調査すること。
• 時間に依存するBCSダイナミクスおよび流体力学的応答の文脈において、断熱近似の妥当性を検証すること。
• BCS理論を介して、流体力学的音速と状態方程式、ギャップパラメータを結びつけること。

提案手法

• 非相互作用フェルミガスを記述するために、第二量子化とグランドカノニカルアンサンブルを用い、占有数はフェルミ・ディラック統計に従う。
• ウィクの定理を適用して、ガウス型のグランドカノニカル密度行列の性質を活用し、2次モーメントによる期待値を計算する。
• フェルミ・ディラック分布の低温展開を用い、化学ポテンシャル付近に集中する狭い温度補正項を分離する。
• BCSハミルトニアンを半古典的位相空間表現に写像するためのウィグナー関数形式を導入し、流体力学的還元を可能にする。
• 断熱近似を導入し、瞬時のBCSモード関数が時間的にゆっくりと変化すると仮定し、有効ハミルトニアンの固有状態構造を維持する。
• ウィグナー関数のダイナミクスから、オイラー型流体力学的方程式と連続の方程式を導出し、有効化学ポテンシャルを零温BCS状態方程式を介して局所密度と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超流動電流の形を仮定せずに、微視的BCS理論からどのように超流動流体力学を導出できるか。
• RQ2 断熱近似は、時間に依存するBCSダイナミクスと流体力学的方程式を結ぶ上で果たす役割は何か。
• RQ3 縮重フェルミガスにおける音速は、状態方程式と対称化ギャップにどのように依存するか。
• RQ4 特に対生成励起に起因する破壊に対して、半古典的近似がどの条件下で破綻するか。
• RQ5 閉じたフェルミガスにおける集団モードは、線形化された流体力学的方程式からどのように生じるか。

主な発見

• 超流動流体力学的方程式は、ウィグナー関数形式と断熱近似を用いて、超流動電流の形を仮定せずにBCS理論から直接導出された。
• 各点における有効化学ポテンシャルは、零温BCS状態方程式により与えられる：$\mu_{\rm eff}(\vec{r},t) = \mu_0[\rho(\vec{r},t)]$ であり、局所密度と化学ポテンシャルを結びつける。
• 音速は $c_s^2 = \rho \, d\mu_0/d\rho$ とスケーリングされ、BCS状態方程式と整合的であり、負の散乱長に対して $\hbar k_F/m$ のオーダーである。
• 線形化された流体力学的方程式から、線形分散関係 $\omega_q = c_s q$ が導かれ、$ql_{\rm BCS} \ll 1$ の条件下で有効である。
• 半古典的近似は、$\hbar\omega_q > 2\Delta$ のとき破綻し、対生成励起への結合が分散関係を歪め、音波の減衰を引き起こす可能性がある。
• 回転系における連続の方程式は $\partial_t \rho + \nabla \cdot \left[ \rho (\vec{v} - \vec{\Omega} \times \vec{r}) \right] = 0$ として回復され、回転系流体力学と整合的である。