[論文レビュー] Basic zeta functions and some applications in physics

Klaus Kirsten|arXiv (Cornell University)|May 13, 2010

Quantum Electrodynamics and Casimir Effect参考文献 73被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、Hurwitz、Barnes、Epsteinの基本的ゼータ関数を導入し、それらが量子場の理論および統計力学における応用を示している。特に、カシミール効果やボーズ＝アインシュタイン凝縮の解析において、微分作用素の固有値スペクトルから導かれるスペクトルゼータ関数を用いることで、解析接続、メロモルフィック構造、および特別値の特定が可能となり、有限系における物理的量（臨界温度やカシミールエネルギーなど）の正確な計算が可能となる。

ABSTRACT

It is the aim of these lectures to introduce some basic zeta functions and their uses in the areas of the Casimir effect and Bose-Einstein condensation. A brief introduction into these areas is given in the respective sections. We will consider exclusively spectral zeta functions, that is zeta functions arising from the eigenvalue spectrum of suitable differential operators. There is a set of technical tools that are at the very heart of understanding analytical properties of essentially every spectral zeta function. Those tools are introduced using the well-studied examples of the Hurwitz, Epstein and Barnes zeta function. It is explained how these different examples of zeta functions can all be thought of as being generated by the same mechanism, namely they all result from eigenvalues of suitable (partial) differential operators. It is this relation with partial differential operators that provides the motivation for analyzing the zeta functions considered in these lectures. Motivations come for example from the questions "Can one hear the shape of a drum?" and "What does the Casimir effect know about a boundary?". Finally "What does a Bose gas know about its container?"

研究の動機と目的

• スペクトル理論に用いられる基本的ゼータ関数（Hurwitz、Barnes、Epstein）を導入し、それらを分析すること。
• 物理系における微分作用素の固有値スペクトルからこれらのゼータ関数がどのように生じるかを示すこと。
• ゼータ関数の技法を用いて、有限系におけるボーズ＝アインシュタイン凝縮の臨界温度補正を計算すること。
• 固有値が超越方程式によって暗黙的に定義される境界値問題に対し、ゼータ関数の解析的延長を拡張すること。
• 複雑な幾何構造におけるカシミールエネルギーを計算するためのフレームワークを提供すること。

提案手法

• 積分表現およびガンマ関数の恒等式を用いて、Hurwitzゼータ関数の積分形を導出すること。
• 二項定理の展開と級数の再編成を適用し、Hurwitzゼータ関数をリーマンゼータ関数およびベルヌーイ多項式で表現すること。
• 補題の原理と閉路積分を用いて、超越方程式から得られる固有値を持つ系のためのスペクトルゼータ関数を定義すること。
• 留数定理を用いて、固有値の零点を囲む閉路に沿った積分からゼータ関数の値を回復すること。
• ベッセル関数の零点と角運動量の degeneracy を用いて、球対称系（例：3次元球）のゼータ関数を構築すること。
• 特殊関数（例：ベッセル関数）の性質を用いて、暗黙的固有値方程式で定義されるゼータ関数に対し、解析接続技術を適用すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hurwitzゼータ関数はどのように解析接続され、その極と特別値は何か？
• RQ2 スペクトルゼータ関数と物理的観測量（カシミールエネルギー、ボーズ＝アインシュタイン凝縮の臨界温度など）との関係は何か？
• RQ3 固有値が超越方程式によって暗黙的に定義される場合、ゼータ関数はどのように構築され、解析接続されるか？
• RQ4 ベルヌーイ多項式およびベルヌーイ数は、負の整数におけるゼータ関数の値を評価する際に果たす役割は何か？
• RQ5 有限サイズ補正は、キャビティに閉じ込められたボーズ気体の臨界温度にどのように影響を与えるか？

主な発見

• Hurwitzゼータ関数は、すべての 0 < a < 1 に対して s=1 に単純極を持ち、その留数は 1 である。
• Hurwitzゼータ関数の負の整数における値は、ζ_H(−k,a) = −B_{k+1}(a)/(k+1) で与えられ、ここで B_n(x) はベルヌーイ多項式である。
• ディリクレ境界条件を満たす3次元球形キャビティでは、固有値はベッセル関数 J_{l+1/2}(√λ_{l,n}R) = 0 の零点によって決定される。
• 3次元球のスペクトルゼータ関数は、ζ(s) = ∑_l (2l+1)/(2πi) ∫_γ k^{-2s} ∂/∂k ln J_{l+1/2}(kR) dk と表され、γ はすべての固有値零点を囲む。
• 2000準位の調和振動子トラップにおける有限サイズ補正により、臨界温度は T_c ≈ 31.9 nK、すなわち T_0 の 0.93 倍にまで低下し、熱力学的極限からの顕著なずれが示された。
• 閉路積分と補題の原理を用いることで、固有値が閉形式で得られない場合であっても、ゼータ関数の解析接続が可能となる。