[論文レビュー] Basins of attraction of automorphisms in C^3

Berit Stensønes, Liz Vivas|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2011

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、原点で恒等写像に接する $\mathbb{C}^3$ 上の正則自己同型を構成し、その吸引域が単連結でないことを示している。具体的には、このような吸引域が $\mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^2$ に正則同型である可能性を示している。構成法は、有限個のシアーとオーバーシアーの合成により定義された写像であり、その力学的性質は $\mathbb{C}^2$ 上への射影写像によって支配される。Hakimの非退化的特徴的方向に関する理論により、吸引域が $\mathbb{C}^2$ に正則同型であることが保証され、$\mathbb{C}^3$ 上に期待される構造に引き上げられる。主な貢献は、高次元複素力学系における単連結でない吸引域の最初の明示的例の構成である。

ABSTRACT

In this paper we shall give examples of maps and automorphisms with regions of attraction that are not simply connected.

研究の動機と目的

• $k \geq 3$ に対して $\mathbb{C}^k$ 上の正則自己同型を構成し、その吸引域が単連結でないことを示すこと。
• 1次元の場合には常に単連結であるという既知の結果を、高次元ではそのトポロジーが保証されないことに拡張すること。
• $\mathbb{C}^3$ 上の恒等写像に接する自己同型の吸引域が、$\mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^2$ に正則同型である可能性を示すこと。
• 制御された力学的性質を持つような自己同型を生成するための構成的技法を提供すること、その手法はシアーとオーバーシアーを用いる。

提案手法

• 写像 $F: \mathbb{C}^3 \to \mathbb{C}^3$ を、シアーとオーバーシアーの有限合成として定義する：$F = \phi_3 \circ \phi_2^{-1} \circ \phi_1^{-1} \circ \phi_2 \circ \phi_1$、ここで各 $\phi_i$ は $\mathbb{C}^3$ の正則自己同型である。
• シアー $\phi_1(z,t,w) = (z,t,w - zt)$、$\phi_2(z,t,w) = (ze^{aw}, te^{bw}, w)$、および $\phi_3(z,t,w) = (z,t,we^{-(a+b+c)zt} + (a+b)z^2t^2)$ を用いて、$\zeta = zt$ を含む特定のテイラー展開を持つ $F$ を構成する。
• 写像 $F$ が原点で恒等写像に接しており、$zt=0$ の軸を保存することを示す。これにより、$F(z,0,w) = (z,0,w)$ および $F(0,t,w) = (0,t,w)$ が成り立つ。
• 写像 $\pi: \mathbb{C}^3 \to \mathbb{C}^2$ を $\pi(z,t,w) = (zt, w)$ で定義し、$G: \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}^2$ との可換図式を構成する。ここで $G$ は $\zeta = zt$ 上の写像であり、非退化的特徴的方向を持つ。
• Hakimの定理を適用する：非退化的特徴的方向のディレクターの実部が正であれば、関連する吸引域は $\mathbb{C}^2$ に正則同型である。これは $c > 2a$ のとき $G$ に対して成り立つ。
• 写像 $G$ の吸引域 $\tilde{\Omega}$ に対して正則同型 $\phi: \tilde{\Omega} \to \mathbb{C}^2$ を定義し、$\Psi(z,t,w) = (z, \phi(zt,w))$ を用いて $\Omega$ が $\mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^2$ に正則同型であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $k \geq 3$ における $\mathbb{C}^k$ 上の正則自己同型の吸引域は、$\mathbb{C}^1$ とは異なり、単連結でない可能性があるか？
• RQ2 $\mathbb{C}^3$ 上の恒等写像に接する自己同型の吸引域が、$\mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^2$ に正則同型であるための動力学的条件は何か？
• RQ3 恒等写像に接する自己同型を $\mathbb{C}^3$ 上にどのように構成すれば、その吸引域が非自明なトポロジーを持つのか？
• RQ4 このような構成を $k \geq 3$ の高次元へ拡張し、吸引域を $(\mathbb{C}^*)^{k-2} \times \mathbb{C}^2$ に正則同型にすることができるか？

主な発見

• 構成された自己同型 $F$ の吸引域 $\Omega$ は、$\mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^2$ に正則同型であり、単連結でない領域である。
• 写像 $F$ は原点で恒等写像に接しており、有限個のシアーとオーバーシアーの合成として構成されており、これにより全域的正則自己同型であることが保証される。
• 写像 $\pi: \mathbb{C}^3 \to \mathbb{C}^2$、$\pi(z,t,w) = (zt,w)$ は、$\mathbb{C}^2$ 上の写像 $G$ を誘導し、Hakimの定理によりその吸引域 $\tilde{\Omega}$ は $\mathbb{C}^2$ に正則同型である。
• 写像 $G$ は非退化的特徴的方向 $(1,0)$ を持ち、$c > 2a$ のときディレクター $\frac{c - 2a}{2a} > 0$ である。これは $\tilde{\Omega} \cong \mathbb{C}^2$ を満たす条件を満たし、これが全吸引域 $\Omega \cong \mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^2$ に引き上げられる。
• この構成は $\mathbb{C}^k$（$k \geq 3$）へ一般化可能であり、$\zeta = \prod_{i=1}^{k-1} z_i$ を用いて $k-1$ 個の変数にシーリング構造を拡張することで、$(\mathbb{C}^*)^{k-2} \times \mathbb{C}^2$ に正則同型な吸引域が得られる。
• 自己同型の特徴的方向の集合は $k$ 次元であり、写像は $0$-双極的である。つまり、特異的方角の集合は $0$ 次元であり、Abate と Tovena の分類と整合的である。